Периодические решения

Периоди́ческие решения

Уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений

, i = 1,..., n (1)

Это такие решения y_i = φ_i (t), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t, то есть для всех значений t

φ_i (t + τ) = φ_i (t)

где τ > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции f_i = F_i (y_i,.... y_n), где i = 1,..., n, явным образом не зависят от t, то в фазовом пространстве (См. Фазовое пространство) (y_i,..., y_i) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя , где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.

В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений

, (2)

фазовым пространством которой является плоскость (х, у). Точки покоя системы (2) находятся из системы уравнений: Р (х, у) = 0, Q (x, у) = 0. Система (2) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы (2) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис.), что все траектории входят в неё при t → +∞ или при t → -∞; если область К не содержит точек покоя системы (2), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре — Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы (2) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р.

Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.

Рис. к ст. Периодические решения.