Однолистная функция

Одноли́стная функция

(матем.)

аналитическая функция (См. Аналитические функции), осуществляющая взаимно однозначное отображение одной области в плоскости комплексного переменного на другую. Изучение функции, однолистной в некоторой односвязной области (См. Односвязная область), может быть сведено к изучению двух функций, однолистных внутри круга |z| ≤ 1. Однолистную в круге |z| < 1 функцию называют нормированной, если f (0) = 0 и f ’ (0) = 1. Семейство S нормированных функций, однолистных в круге |z| < 1, достаточно хорошо изучено. Можно дать оценки некоторых величин, связанных с О. ф., справедливые для любой функции из S. Если разложить функцию f (z) из семейства S в ряд Тейлора

f (z) = z + a₂z² + a₃z³ +...,

то будут выполняться неравенства: |a₂| ≤ 2, |а_з| ≤ 3. Известная проблема коэффициентов из теории О. ф. ставится так: найти необходимые и достаточные условия, которые нужно наложить на комплексные числа a₂, a₃, a₄,... для того, чтобы ряд z + a₂z² + … + a₃z ²+ ... был рядом Тейлора некоторой О. ф. В настоящее время (1974) проблема коэффициентов не решена.