Мёбиуса лист

Поверхность, получающаяся при склеивании двух противоположных сторон AB и А‘В’ прямоугольника ABB’ A’ (см. рис. 1, а) так. что точки А и В совмещаются соответственно с точками B’ и A’ (рис. 1, б). М. л. был рассмотрен (в 1858—65) независимо друг от друга немецкими математиками А. Мебиусом (См. Мёбиус) и И. Листингом в качестве первого примера односторонней поверхности (См. Односторонние поверхности). Если двигаться вдоль по М. л. (как и по любой другой односторонней поверхности), не пересекая его границы, то (в отличие от двухсторонних поверхностей, например сферы, цилиндра) можно попасть в исходное место, оказавшись в перевёрнутом положении по сравнению с первоначальным. Это тесно связано с неориентируемостью М. л.: если отметить на нём небольшую окружность с фиксированным направлением обхода и двигать сё вдоль М. л., не пересекая границы, то можно придти к начальному положению так, что направление обхода окружности изменится на противоположное. М. л. ограничен всего лишь одной замкнутой линией. Поэтому, если разрезать М. л. по средней линии, то он не распадётся на две части, а превратится в поверхность гомеоморфную (см. Гомеоморфизм) поверхности цилиндра, отличающуюся от неё лишь тем, что она дважды перекручена вокруг себя (рис. 2).

С топологической точки зрения М. л. — неориентируемая поверхность с нулевой эйлеровой характеристикой (См. Эйлерова характеристика), ограниченная одной замкнутой линией.

Рис. 1. Построение листа Мёбиуса: а — исходный прямоугольник; б — лист Мебиуса.

Рис. 2. Поверхность, получаемая из листа Мёбиуса разрезанием его по средней линии.