Максимального правдоподобия метод

Максима́льного правдоподобия метод

Метод нахождения статистических оценок (См. Статистические оценки) неизвестных параметров распределения; согласно М. п. м., в качестве оценок выбираются те значения параметров, при которых данные результаты наблюдений «наиболее вероятны». Предполагается, что результаты наблюдений X₁, ..., X_n являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же Распределением вероятностей, зависящим от одного неизвестного параметра θ ∈ Θ, где Θ — множество допустимых значений θ. Для придания точного смысла принципу «наибольшей вероятности» поступают следующим образом. Вводят функцию

,

где p(t; θ) в случае непрерывного распределения интерпретируется как плотность вероятности случайной величины X, а в дискретном случае — как вероятность того, что случайная величина Х примет значение t. Функцию L(X₁, . . ., Xn; θ) от случайных величин X₁, . . ., X_n называют функцией правдоподобия, а оценкой максимального правдоподобия параметра θ называют такое значение (X₁, . . ., X_n) (само являющееся случайной величиной), при котором функция правдоподобия достигает наибольшего возможного значения. Так как точка максимума для log L та же, что и для L, то для нахождения оценок максимального правдоподобия следует решить так называемое уравнение правдоподобия

.

М. п. м. не всегда приводит к приемлемым результатам, однако в достаточно широком круге практически важных случаев этот метод является в известном смысле наилучшим. Так, например, можно утверждать, что если для параметра θ существует несмещенная эффективная оценка θ* по выборке объёма n, то уравнение правдоподобия имеет единств, решение . Что касается асимптотического поведения оценок максимального правдоподобия при больших n, то известно, что при некоторых общих условиях М. п. м. приводит к состоятельной оценке, которая асимптотически нормальна и асимптотически эффективна. Данные выше определения непосредственно обобщаются и на случай нескольких неизвестных параметров и на случай выборок из многомерных распределений. М. п. м. в его современном виде был предложен английским статистиком Р. Фишером (1912), однако в частных формах метод использовался К. Гауссом, а ещё раньше, в 18 веке, к его идее были близки И. Ламберт и Д. Бернулли. Следует добавить, что название «М. п. м.» является калькой с английского «maximum likelihood method».

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, перевод с английского, М., 1968; Худсон Д., Статистика для физиков, перевод с английского, М., 1970.

А. В. Прохоров.