1. Большая советская энциклопедия

Логарифм

Логари́фм

Числа N по основанию а, показатель степени m, в которую следует возвести число а (основание Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, m = logaN, если ам = N. Например, log10 100 = 2; log2 1/32 = — 5; loga 1 = 0, т. к. 100 = 102, 1/32 = 2-5, 1 = a0. При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ≠ 1. Из свойств логарифмической функции (См. Логарифмическая функция) вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единств. действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются комплексными числами). Основные свойства Л.:

loga(MN) = logaM + logaN;

logaM/N = logaM — logaN;

logaNk = k logaN;

loga Логарифм logaN

позволяют сводить умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение корня — к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е. к более простым действиям.

Когда основание а фиксировано, говорят об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N. Для рациональных чисел, отличных от 10k с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные числа (См. Трансцендентное число), которые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного Л. наз. характеристикой, дробную — мантиссой. Так как lg(10kN) = k + lgN, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10k, имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л. целых чисел (см. Логарифмические таблицы).

Большое значение имеют также натуральные Л., основанием которых служит трансцендентное число e = 2,71828...; их обозначают lnN. Переход от одного основания Л. к другому совершается по формуле logbN = logaN/logab, множитель 1/logab называется модулем перехода (перевода) от основания а к основанию b. Для перехода от натуральных Л. к десятичным или обратно имеем

lnN = IgN/lge, lgN = InN/ln10;

1/lge = 2,30258; 1/ln10 = 0,43429....

Историческая справка. Открытие Л. было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением астрономических наблюдений и усложнением астрономических выкладок. Авторы первых таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрической прогрессии и составленной из показателей степени её членов арифметической прогрессии. Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были хорошо известны Н. Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Первые логарифмические таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга Дж. Непером (1614, 1619) и швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Важный шаг в теоретическом изучении Л. сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668), нашедшим, что

In(1+x) = x Логарифм. Рис. 2

Вскоре затем Дж. Грегори (1668) открыл разложение

ln Логарифм. Рис. 3 .

Этот ряд очень быстро сходится, если М = N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень.

Термин «Л.» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть Л. у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору, «характеристика» — английскому математику Г. Бригсу, «мантисса» в нашем смысле — Л. Эйлеру, «основание» Л. — ему же, понятие о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Современное определение Л. впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак Л. — результат сокращения слова «Л.» — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц [напр., Log — у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. — Б. Кавальери (1632, 1643)].

Лит.: Маркушевич А. И., Площади и логарифмы, М. — Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Значения в других словарях

  1. логарифм — -а, м. мат. Показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Таблица логарифмов. [От греч. λόγος — отношение и ’αρηθμός — число] Малый академический словарь
  2. Логарифм — Числа Nпо основанию а — показатель степени т, в к-рую следует возвести число "(основание Л.), чтобы получить N;обозначается logaN, т. е. m=logaN, если am=N. Каждому положительному числу соответствует при данном основании единственный действительный Л. (Л. Математическая энциклопедия
  3. логарифм — Логари́фм/. Морфемно-орфографический словарь
  4. логарифм — орф. логарифм, -а Орфографический словарь Лопатина
  5. логарифм — Греческое – logos (соотношение, соответствие), arithmos (число). Первоисточником является греческий язык. В 1614 г. шотландский математик Непер создал термин logaritmus. В XVIII... Этимологический словарь Семёнова
  6. логарифм — ЛОГАРИФМ а, м. ЛОГАРИТМ а, м. logarithme m. , нем. Logarithm, н.-лат. Logarithmus <�гр. logos отношение + arrithmos число. мат. Показатель степени, в которую нужно возвести какое-н. определенное число, чтобы получить данное число. Словарь галлицизмов русского языка
  7. логарифм — Заимств. в XVIII в. из франц. яз., где logarithme < англ. logarithmus, неологизма шотландского математика Д. Непера. Слово образовано сложением греч. logos в значении «отношение» и arithmos «число». Этимологический словарь Шанского
  8. ЛОГАРИФМ — ЛОГАРИФМ, вспомогательный прием (формула) для произведения вычислений, выведенный в 1614 г. Джоном НЕПЕРОМ и разработанный впоследствии английским математиком Генри Бриггсом (1561-1631). Научно-технический словарь
  9. логарифм — ЛОГАРИФМ -а; м. [от греч. logos — отношение и arithmos — число] Матем. Показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Таблица логарифмов. Л. числа 25. ◁ Логарифмический, -ая, -ое. Матем. Толковый словарь Кузнецова
  10. логарифм — ЛОГАРИФМ, а, м. В математике: показатель степени, в к-рую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Таблица логарифмов. | прил. логарифмический, ая, ое. Логарифмическая линейка (счётный инструмент). Толковый словарь Ожегова
  11. логарифм — Логарифма, м. [от греч. logos – слово и arithmos – число] (мат.). Показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Большой словарь иностранных слов
  12. логарифм — ЛОГАР’ИФМ, логарифма, ·муж. (от ·греч. logos — слово и arithmos — число) (мат.). Показатель степени, в которую надо возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число. Толковый словарь Ушакова
  13. логарифм — Этот математический термин был заимствован из французского, где logarithme восходит к научной латыни: слово logarithmus было образовано искусственно из греческого legos ("отношение") и arithmos – "число". Этимологический словарь Крылова
  14. Логарифм — Л. данного числа n называется показатель степени, в которую нужно возвести некоторое другое данное число а, называемое основанием, чтобы получить n; так что зависимость между данным числом n, основанием а и Л. х числа n выражается формулою n = aх. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
  15. логарифм — логарифм м. Показатель степени, в которую нужно возвести число, называемое основанием, чтобы получить данное число (в математике). Толковый словарь Ефремовой
  16. логарифм — логари́фм начиная с Петра I; см. Смирнов 180. Вероятно, из франц. logarithme "логарифм" от лат. logarithmus (слово создано шотландским математиком Джоном Нэпиром в 1614 г.; см. Шульц–Баслер 2, 38) из греч. λόγος и ἀριθμός, первонач. "относительное число". Этимологический словарь Макса Фасмера
  17. логарифм — ЛОГАРИФМ м. математ. Если под рядом чисел геометрической прогрессии (лествицы) выставить ряд отвечающих им чисел арифметической прогрессии, то каждое из последних будет логарифмом дружки своей, в первом порядке... Толковый словарь Даля