Двойной ряд

Выражение вида

u₁₁ + u₁₂ + ... + u_1n + ...

+ u₂₁ + u₂₂ + ... + u_2n + ...

....................................

+ u_m1 + u_m2 + ... + u_mn + ...

.....................................,

составленное из элементов бесконечной матрицы ||u_mn|| (m, n = 1, 2, ...); эти элементы могут быть числами (тогда Д. р. называются числовым), функциями от одного или нескольких переменных (функциональный Д. р.) и т. д. Для Д. р. принята сокращённая запись

Двойной ряд

u_mn называется общим членом Д. р.

Конечные суммы

Двойной ряд. Рис. 2

называются частичными суммами Д. р. Если существует предел

Двойной ряд. Рис. 3

когда m и n независимо друг от друга стремятся к бесконечности, то этот предел называется суммой Д. р. и Д. р. называются сходящимся. Теория сходимости Д. р. значительно сложнее соответствующей теории для простых Рядов; например, в отличие от простых рядов, из сходимости Д. р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены.

Выражение

Двойной ряд. Рис. 4

называется повторным рядом. Его надо понимать в том смысле, что сначала вычисляются суммы

Двойной ряд. Рис. 5

всех внутренних рядов, а затем рассматривается ряд

Двойной ряд. Рис. 6

составленный из этих сумм. Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S, то её называют суммой Д. р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Д. р. по столбцам. Из сходимости Д. р. не вытекает, что сходятся внутренние Ряды

Двойной ряд. Рис. 7

так что суммы по строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д. р. расходится, то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S ≠ S'. Однако, если Д. р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по столбцам, то каждая из этих сумм равна S. Это обстоятельство постоянно используется при фактическом вычислении суммы Д. р.

Наиболее важными классами Д. р. являются двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным числом переменных. Для Д. р. Фурье

Двойной ряд. Рис. 8

одним из стандартных пониманий суммы таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические) частичные суммы

Двойной ряд. Рис. 9

где суммирование распространяется на всевозможные пары целых чисел (m, n), для которых m² + n² /u> <i>N,</i> и рассматривается предел Двойной ряд. Рис. 10 этот предел называется сферической суммой Д. р. Фурье (2). Многие важные функции изображаются с помощью Д. р., например эллиптическая функция (См. <<Эллиптические функции) Вейерштрасса.

Кратный ряд (точнее, s-кpaтный ряд) есть выражение вида

Σ_{m, n, …, p}u_{mn … q,}

составленное из членов таблицы ||u_mn...p||. Каждый член этой таблицы занумерован s индексами m, n, ..., р, и эти индексы пробегают независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно аналогична теории Д. р.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966.

С. Б. Стечкин.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Двойной ряд

Значения в других словарях