Гаусса принцип

Га́усса принцип

Принцип наименьшего принуждения, один из вариационных принципов механики (См. Вариационные принципы механики), согласно которому для механической системы с идеальными связями (см. Связи механические) из всех кинематически возможных, т. e. допускаемых связями, движении, начинающихся из данного положения и с данными начальными скоростями, истинным будет то движение, для которого «принуждение» Z является в каждый момент времени наименьшим. Установлен К. Гауссом (1829).

Физическая величина, называемая «принуждением», вводится следующим образом. Свободная материальная точка с массой m при действии на неё заданной силы F будет иметь ускорение F/m; если же на точку наложены связи, то её ускорение при действии той же силы F станет равным какой-то др. величине w. Тогда отклонение точки от свободного движения, вызванное действием связи, будет зависеть от разности этих ускорений, т. e. от F/m—w. Величину Z, пропорциональную квадрату этой разности, и называют «принуждением». Для одной точки

а для механической системы Z равняется сумме таких величин.

Рассмотрим, например, точку, которая начинает двигаться вдоль гладкой наклонной плоскости из положения А без начальной скорости (см. рис.). Для неё кинематически возможно любое перемещение АВ, AB₁, AB₂,... в этой плоскости с какими-то ускорениями w, w₁, w₂,..; при свободном же падении точка совершила бы перемещение AC вдоль вертикали с ускорением g. Тогда отклонения точки от свободного движения изобразятся отрезками CB, CB₁, CB₂,..., наименьшим из которых будет отрезок CB, перпендикулярный к наклонной плоскости. Следовательно, «принуждение» Z, пропорциональное квадратам CB, CB₁, CB₂,..., будет наименьшим при движении вдоль линии наименьшего ската AD. Это и будет истинное движение точки, происходящее с ускорением w = gsinα.

Г. п. пользуются для составления уравнений движения механических систем и изучения свойств этих движений.

Лит. см. при ст. Вариационные принципы механики.

Рис. к ст. Гаусса принцип.