Волновое уравнение

Волново́е уравнение

Дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

Волновое уравнение

где х, у, z — пространственные переменные, t время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:

u = f (tr/a)/r,

где f — произвольная функция, a

Волновое уравнение. Рис. 2

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):

u = δ (tr/a)/r

(где δ — Дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:

Волновое уравнение. Рис. 3

Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (xat) + g (x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий (См. Начальное условие).

Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

П. И. Лизоркин.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me


Значения в других словарях

  1. Волновое Уравнение — Уравнение с частными производными вида описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача. Классич. Математическая энциклопедия
  2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — В механике, линейное однородное дифф. ур-ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид: где t — время, х, у, z — пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) — ф-ция... Физический энциклопедический словарь
  3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Напр. Большой энциклопедический словарь