по мере того как — Орфографический словарь Лопатина

по мере того как — В то время как; в соответствии с тем как. По мере того как бричка близилась к крыльцу, глаза его делались веселее (Гоголь. Мёртвые души). У двери стоял один надзиратель, который, по мере того как посетители проходили мимо него, считал их (Л. Н. Толстой. Воскресение). Фразеологический словарь Фёдорова
по мере того как — по мере того как союз Употребляется при присоединении придаточной части сложноподчиненного предложения, действие которой происходит одновременно с действием главной части и обусловливает его. Толковый словарь Ефремовой