Периодические решения
Периоди́ческие решения
Уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений
, i = 1,..., n (1)
Это такие решения yi = φi (t), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t, то есть для всех значений t
φi (t + τ) = φi (t)
где τ > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции fi = Fi (yi,.... yn), где i = 1,..., n, явным образом не зависят от t, то в фазовом пространстве (См. Фазовое пространство) (yi,..., yi) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя
В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений
,
фазовым пространством которой является плоскость (х, у). Точки покоя системы (2) находятся из системы уравнений: Р (х, у) = 0, Q (x, у) = 0. Система (2) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если
Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.
Рис. к ст. Периодические решения.
Большая советская энциклопедия