УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

Движение любой механич. системы, напр. машины, гироскопич. устройства, самолёта, снаряда, зависит от действующих сил и т. н. начальных условий, т. е. от положений и скоростей точек системы в момент начала движения. Зная действующие силы и начальные условия, можно теоретически рассчитать, как будет двигаться система; это движение наз. невозмущённым. Но поскольку все измерения производятся с той или иной степенью точности, то на практике истинные значения начальных условий обычно несколько отличаются от расчётных. Кроме того, механич. система может во время движения подвергнуться незначит. случайным воздействиям, не учтённым при расчёте, что тоже эквивалентно изменению начальных условий. Возникающие по разным причинам •отклонения начальных условий от их расчётных значений наз. начальными возмущениями, а движение, к-рое система совершает при наличии этих возмущений,— возмущённым движением.

Если при достаточно малых начальных возмущениях к.-н. из хар-к движения во всё последующее время мало отличается от своего значения в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой хар-ке наз. устойчивым. Если же при сколь угодно малых, но не равных нулю начальных возмущениях данная хар-ка со временем будет всё более и более отличаться от своего значения в невозмущённом движении, то движение системы по отношению к этой хар-ке наз. неустойчивым. Эти определения соответствуют определению У. д. по А. М. Ляпунову. Условия, при к-рых движение механич. системы явл. устойчивым, наз. критериями устойчивости.

В качестве примера рассмотрим гироскоп (волчок), ось к-рого вертикальна и к-рый вращается вокруг этой оси с угл. скоростью w (рис.).

Теоретически ось гироскопа должна оставаться вертикальной при любом значении w, но фактически, когда w меньше нек-рой величины wкр, ось при любом малом возмущении (толчке) будет всё более отклоняться от вертикали. Если же w>wкр, то малые возмущения практически направление оси не изменят. Следовательно, при wwкр устойчив. Последнее неравенство и явл. критерием устойчивости, при этом

wкр=2O(РаIх/Iу),

где Р — вес гироскопа, а — расстояние от точки опоры О до центра тяжести С, Ix и Iy — моменты инерции гироскопа относительно осей х и у соответственно.

Теория У. д. имеет важное практич. значение для мн. областей техники, т. к. У. д. должны обладать различного рода двигатели, автомобили, самолёты, ракеты, гироскопич. приборы, системы автоматич. регулирования и др. В небесной механике проблема У. д. возникает при изучении вопроса о длительности сохранения структуры солнечной системы, двойных звёзд и др.