ПЛАСТИЧНОСТИ ТЕОРИЯ

Раздел механики, в к-ром изучаются законы, отражающие связи между напряжениями и упругопластич. деформациями (физ. основы П. т.), и разрабатываются методы решения задач о равновесии и движении деформируемых тв. тел (матем. П. т.). П. т. явл. основой совр. расчётов конструкций, сооружений и машин с учётом макс. использования прочностных и деформац. ресурсов материалов, а также расчётов технологич. процессов обработки металлов давлением (ковки, штамповки и др.) и ряда природных процессов (горообразования, дрейфа континентов и др.).

Упругие деформации конструкц. материалов имеют величину 0,3—0,5%, тогда как пластич. деформации до разрушения достигают значений 10— 20% и более, а напряжения при разрушении превышают предел текучести в неск. раз. Поэтому методы расчёта, основанные на допустимости только упругих деформаций, не всегда технически и экономически целесообразны. Более того, иногда создание жизнеспособной конструкции просто невозможно без учёта стадии пластич. деформации.

Физические основы П. т. Физ. основой П. т. явл. законы связи между напряжениями и деформациями (см. ПЛАСТИЧНОСТЬ) в разл. термомеханич. условиях. Для пластичности типично, что значения напряжений зависят не только от текущих значений деформаций, но и от предшествующего процесса их изменения. Напр., если тонкостенный трубчатый образец вначале растянуть до относит. удлинения e1, а потом при неизменном e1 закрутить до деформации сдвига g1; то в конце этого процесса норм. и касат. напряжения в поперечном сечении образца достигают нек-рых значений s1t1. Если такой же образец вначале закрутить до той же деформации сдвига g1, а потом при постоянном g1 растянуть до относит. удлинения e1, то в этом процессе норм. и касат. напряжения достигают значений s'1t'1, отличных от s1t1.

В общем случае процесс деформации описывается шестью ф-циями изменения компонентов тензора деформации (см. ДЕФОРМАЦИЯ механическая), однако его удобно также представлять графически. Напр., при совместном растяжении и кручении трубчатого образца деформированное состояние изображается в прямоугольной системе координат Oэ1э2 точкой М (рис. 1), координаты к-рой по оси э1=e, а по оси э2=g/?3 (множитель 1/?3 вводится в связи с тем, что предел текучести при растяжении в ?3 раз отличается от предела текучести при сдвиге), или вектором деформации э=ОМ. Модуль вектора э равен интенсивности деформации eu. В процессе деформации точка М (э1, э2) очерчивает кривую OL, к-рая наз. т р а е к т о р и е й д е ф о р м а ц и и. Степень сложности процесса характеризуется кривизной траектории деформации k, к-рая явл. ф-цией длины дуги s траектории: k=k(s).

Рис. 1. График, изображающий процесс деформации трубчатого образца.

Эта функция определяет т. н. внутреннюю геометрию траектории. Деформация наз. п р о с т о й, если все компоненты тензора деформации возрастают пропорционально одному параметру (напр., времени или длине дуги s). Траектория простой деформации — прямолинейный луч ОК (рис. 2); её кривизна k(s)=0, причём s=eu. При сложной деформации k(s)?0 (кривая OL). Частный случай сложной деформации — двухзвенный процесс, изображаемый ломаной (напр., OCD).

Напряжённое состояние можно изображать на плоскости (э1, э2) в виде вектора напряжений s=ON® (рис. 1) с координатами s1=s, s2=t?3. Начало этого вектора относят к той точке траектории деформации, в к-рой это напряженное состояние достигнуто. Если в одном образце точка М достигнута путём процесса OL (рис. 2), а в другом, идентичном, путём процесса OL', то векторы напряжений s и s' в этой точке различны.

Зависимость нек-рой величины в момент t от процесса изменения другой величины в интервале (0, t) описывается матем. объектом, к-рый наз. функционалом. При пластич. деформации напряжения — функционалы процесса деформации, а также давления, темп-ры и скорости деформации.

Теория малых у п р у г о п л а с т и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й. При простой активной деформации, когда интенсивность деформации eu возрастает, имеют место соотношения теории малых упругопластич. деформаций (А. А. Ильюшин, 1943):

к-рые означают, что а) вектор напряжений коллинеарен лучу деформации (sA на рис. 2); б) его модуль— функция eu, давления q, темп-ры Т и скорости изменения интенсивности деформации eu=deu/dt, не зависящая от направления луча деформации; в) относит. изменение объёма q=3e=e11+e22+e33 пропорционально среднему напряжению s=1/3(s11+s22+s33) и темп-ре.

Рис. 2. Траектории деформации: ОК — при простой деформации, k(s)=0; OL — при произвольном сложном процессе, k(s)?0; OCD — двухзвенный процесс кручения трубчатого образца при постоянном удлинении; k(s)=0 всюду, кроме точки С, где k(s)=?.

Здесь К — модуль объёмной упругости (см. МОДУЛИ УПРУГОСТИ), a — коэфф. линейного теплового расширения, su=Ф(eu, q, Т, eu) — экспериментально определяемая ф-ция, к-рая при неизменных q, Т и eu наз. ф у н к ц и е й у п р о ч н е н и я. При пассивной деформации (eu убывает), т. е. при разгрузке, приращения напряжений и деформаций связаны соотношениями обобщённого Гука закона. Теория малых упругопластич. деформаций используется в практике расчётов конструкций и сооружений на прочность и устойчивость при пластич. деформациях.

Теория течения С е н-Ве н а н а. Франц. учёный А. Сен-Венан (1871) предположил, что в сложном процессе активной деформации идеально пластич. (неупрочняющегося) материала, для к-рого интенсивность напряжений su постоянна и равна пределу текучести ss при активной пластич. деформации, вектор напряжений коллинеарен касательной к траектории деформации и материал механически несжимаем. При изотермич. условиях соотношения напряжения — деформации по его теории имеют вид

где vmn — компоненты тензора скоростей деформации, vu — интенсивность скоростей деформации, dmn — символ Кронекера: dmn=1 при т=п и dmn=0 при m?n. Соотношения (2) хорошо согласуются с данными опытов только при простой деформации и в процессах малой кривизны (см. ниже). Теория течения Сен-Венана успешно используется при расчётах технологич. процессов формоизменения неупрочняющихся или слабоупрочняющихся металлов (штамповки, прессования и др.). При расчётах горячих скоростных процессов необходимо учитывать зависимость ss от темп-ры и скорости деформации.

При сложном процессе деформации к построению соотношений между напряжениями и деформациями имеется несколько подходов.

Теория упругопластических процессов. При совместном растяжении и кручении трубчатого образца вектор напряжений можно представить в виде s=suX(p1cosq1+p2cosq2), где единичные векторы касательной р1 и нормали р2 к траектории деформации образуют т. н. репер Ф р е н е, а q1 и q2 — углы ориентации вектора напряжений, т. е. углы между а и р1 и p2 соответственно (рис. 1), причём q2=p/2-q1. Если величины su и q?q1 определены как функции процесса (функционалы), то написанное выражение для о даёт связь между напряжениями и деформациями.

В общем случае сложного напряжённого состояния процесс изменения девиатора деформации изображается в пятимерном пространстве траекторией деформации, внутр. геометрия к-рой описывается кривизнами k1(s), k2(s), k3(s), k4(s), а репер Френе определяется пятью единичными векторами р1, p2, p3,,p4, p5. Параметрами, определяющими процесс деформации, явл.: ориентация траектории, её внутр. геометрия (кривизны), давление q, темп-pa Т и скорость деформации s=ds/dt, заданные как ф-ции длины дуги s. Вектор напряжений а определяется модулем |s|= su и углами ориентации:

Задачей теории явл. установление зависимости величин su, q1, q2, q3, q4, q5 от параметров произвольного процесса деформации.

Осн. законом теории упругопластич. процессов явл. постулат изотропии А. А. Ильюшина, согласно к-рому для изотропного материала модуль вектора напряжении и углы его ориентации в репере Френе однозначно определяются изменением параметров процесса от его начала до текущего момента, т. е. они явл. функционалами, порождаемыми ф-циями k1(s), k2(s), k3(s), k4(s), q(s), T(s), s(s), и не зависят от ориентации траектории деформации. Действительно, в опытах обнаружено, что если в трёх одинаковых образцах из изотропного материала, испытываемых, напр., при совместном растяжении и кручении, осуществить процессы деформации OL, OL', OL" (рис. 3) с одинаковой внутренней геометрией k(s)=k'(s)=k"(s) (траектория OL' построена путём отражения OL в нек-ром луче ОА, а траектория OL" -- поворотом OL на нек-рый угол), то в точках М, М', М" с одинаковыми значениями длины дуги (ОМ=ОМ'=ОМ") модули векторов напряжений и углы их ориентации одинаковы: su=s'u=s"u; q=q1. Т. о., равенство (3) даёт общий вид зависимости между напряжениями и деформациями при произвольном процессе нагружения. Определение функционалов пластичности по данным опытов чрезвычайно затруднительно и пока предложены способы построения лишь части из них.

Рис. 3. Графики процессов с одинаковой внутренней геометрией k(s).

Другое фундаментальное св-во пластичности изотропного материала отражает принцип запаздывания: значения углов ориентации вектора напряжений в репере Френе зависят от изменения кривизн не на всей предшествующей траектории деформации, а лишь на последней её части, длина к-рой, характерная для данного материала, наз. с л е д о м з а п а з д ы в а н и я. Это св-во позволило выделить неск. типов процессов (простой деформации, малой кривизны, средней кривизны, двухзвенных), для к-рых соотношения между напряжениями и упругопластич. деформациями установлены конкретно и не содержат функционалов.

Т е о р и я т е ч е н и я. Тензор напряжений sij представляется в шестимерном пространстве точкой нагружения N, или вектором напряжений s=ON. В процессе нагружения sij(t) точка N очерчивает траекторию нагружения (рис. 4). Деформация представляется в виде суммы упругой и пластической. Упругая часть деформации связана с напряжениями обобщённым законом Гука. Все напряжённые состояния, к-рые могут быть достигнуты из начального состояния без возникновения пластич. деформаций, располагаются на нек-рой поверхности F, наз. начальной п о в е р х н о с т ь ю т е к у ч е с т и. При выходе точки нагружения N за пределы поверхности F (активный процесс, нагрузка) изменяются величины упругой и пластич. деформации и форма поверхности текучести (процесс NN' и новая, мгновенная поверхность текучести F'). Если затем точка нагружения перемещается внутрь мгновенной поверхности текучести (процесс N'N"), то изменяется только упругая деформация, а пластич. деформация и поверхность текучести процессов.

Рис. 4. Траектория нагружения ON и поверхности текучести F для активного NN' и пассивного NN" неизменны (пассивный процесс, разгрузка). Конфигурация поверхности текучести явл. функционалом процесса нагружения.

В основе теории течения лежит постулат пластичности, согласно к-рому работа напряжений на замкнутом цикле напряжений (деформаций), не может быть отрицательна, откуда следует, что вектор скорости пластич. деформации ep направлен по нормали к мгновенной поверхности текучести в точке нагружения N. Это приводит к соотношениям:

где epmn — компоненты тензора пластич. деформации, точками сверху обозначены производные по времени. Т. н. функция упрочнения Н явл. функционалом предшествующего процесса нагружения и зависит от скоростей изменения напряжений. Построить функционал F практически невозможно, поэтому вводятся т. н. гипотезы упрочнения, т. е. упрощающие предположения об изменении поверхности текучести, а соотношения (4) линеаризуют, т. е. пренебрегают зависимостью Н от скоростей напряжений. В таком виде теория течения пригодна для ограниченного класса процессов.

Т е о р и я с к о л ь ж е н и я.

Этим термином объединяется ряд П. т., в к-рых рассматривается поликрист. агрегат (напр., металл). Для описания пластичности отдельного зерна используется одна из простейших теорий пластичности (напр., теория идеальной пластичности), Поликрист. агрегат рассматривается как статистич. ансамбль с равновероятным распределением форм и размеров зёрен, существующих как бы в одной точке, и преимущественных плоскостей скольжений. Условия кинематич. и динамич. контакта между зёрнами учитываются не полностью. Путём статистич. анализа разыскивается связь между напряжениями и деформациями в макрообъёме агрегата.

Математическая П. т. Матем. задача П. т. сводится к разысканию компонентов вектора перемещения, тензора деформации и тензора напряжений как ф-ций координат и времени, к-рые при заданных в объёмах тела массовых силах и темп-ре, усилиях на одной части граничной поверхности и перемещениях на другой части поверхности должны удовлетворять дифф. ур-ниям движения (или равновесия), ур-ниям связи между деформациями и перемещениями, ур-ниям связи между напряжениями деформациями и темп-рой (законам пластичности), граничным и нач. условиям. Система этих ур-ний составляет краевую задачу П. т.

Формулировка матем. задачи П. т. отличается от краевой задачи упругости теории только тем, что соотношения обобщённого закона Гука заменяются соотношениями той или иной П. т. При использовании теории идеальной пластичности (и др. теорий течения) вместо перемещений и деформаций разыскиваются скорости ч-ц и тензор скоростей деформации. При использовании соотношений пластичности, относящихся к частным классам процессов, требуется анализ физ. достоверности решения краевой задачи, т. к. в большинстве случаев не выяснены те условия нагружения тела произвольной формы, при к-рых во всех точках тела протекают процессы деформации определённого типа. В теории упругопластич. процессов дан общий метод установления физ. достоверности решений.