КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Интегродифференциальное уравнение, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения систем из большого числа ч-ц, напр. ф-ция распределения f(v, r, t) молекул газа по скоростям v и координатам r, ф-ции распределения эл-нов в металле, фононов в кристалле и т. п. (см. КИНЕТИКА ФИЗИЧЕСКАЯ). К. у. Б.— осн. ур-ние микроскопич. теории неравновесных процессов, физ. кинетики, в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. кинетич. ур-ние для газов малой плотности. Различные обобщения К. у. Б., напр. для квазичастиц в кристаллах, для эл-нов в металле, также наз. К. у. Б., просто кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа ч-ц (точнее, точек, изображающих состояние ч-ц) в элементе фазового объема dvdr (dv=dvxdvydvz, dr=dxdydz) и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения ч-ц f(v, r, t) со временем t происходит вследствие движения ч-ц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из ч-ц одного сорта, К. у. Б. имеет вид:

где f(v, r, t) dvdr — ср. число ч-ц в элементе фазового объёма dvdr около точки (v, r); F=F(r, t) — сила, действующая на ч-цу;(дf/дt)ст — изменение ф-ции распределения вследствие столкновении; дf/дt — изменение плотности числа ч-ц около точки (v, r) в момент времени t за ед. времени. Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменение ф-ции распределения в результате перемещения ч-ц в пр-ве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями ч-ц, связано с уходом ч-ц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма ч-цами, испытавшими «обратные» столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то в К. у. Б. (1)

Здесь f(v, r, t) и f1(v1, r, t) — ф-ции распределения до столкновения, f' (v', r, t) и f'1(v'1, r, t) — после столкновения, v и v1— скорости ч-ц до столкновения, v', v'1— скорости тех же ч-ц после столкновения, u=?v-v1? — модуль относит. скорости сталкивающихся ч-ц, q — угол между относит. скоростью v-v1 сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры, s(u, q) dW — дифференциальное эфф. сечение рассеяния ч-ц на телесный угол dW в лаб. системе, зависящее от закона вз-ствия молекул. Для модели молекул в виде упругих жёстких сфер, имеющих радиус R, s=4R2cosq. К. у. Б. (1) было выведено австр. физиком Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1872.

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих ч-ц сферич. формы это область порядка диаметра ч-ц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся молекул (гипотеза мол. хаоса). Если система находится в равновесии статистическом, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. будет Максвелла распределение. Найденное для соответствующих условий решение К. у. Б. позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для разл. процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности и др.). Для квант. газов значения эфф. сечений рассчитываются на основе квант. механики (с учётом неразличимости одинаковых ч-ц и того факта, что вероятность столкновения определяется не только хар-ром ф-ций распределения ч-ц до столкновения, но и хар-ром этих ф-ций после столкновения). Для фермионов учёт этих факторов приводит к уменьшению вероятности столкновений, а для бозонов— к увеличению. Интеграл столкновений в этом случае имеет более сложный вид (содержит ff1(1±f'1) (1± f'1) вместо ff1, где верхний знак относится К Ферми — Дирака статистике, а нижний — к Возе — Эйнштейна статистике). Ферми—Дирака распределение и Бозе — Эйнштейна распределение явл. решениями соответствующих квант. К. у. Б. для случая статистич. равновесия.