ТЕОРИЯ В ЛОГИКЕ

ТЕОРИЯ В ЛОГИКЕ представляет собой логически связную систему предложений. В качестве логической связи используются процедуры дедукции, формализующие отношение выводимости. В зависимости от степени проясненности (выявленности) дедуктивных связей различают несколько типов теорий.

К первому типу относятся содержательные теории. В их составе дедукция используется лишь для связи отдельных положений. При этом исходные утверждения в рассуждениях представляют собой некоторые допущения, называемые посылками. Посылки не обязаны быть (и не всегда бывают) истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с их использованием, считается условно истинным: заключение истинно при условии, что посылки являются истинными. Примером содержательной теории является школьная арифметика.

Другой тип – это т.н. формализованные теории. К их числу относятся теории, содержание которых взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально принятых исходных утверждений, называемых аксиомами [АКСИОМА]. Т.к. аксиомы рассматриваются как истинные высказывания о некоторой предметной области, все другие положения, дедуцируемые из них, тоже считаются истинными относительно этой области. Примерами таких теорий являются: небесная механика Ньютона, специальная и общая теории относительности Эйнштейна, квантовая механика, геометрия Евклида и многие другие.

Формализованные теории – это уже хорошо организованные теории. Однако их недостатком является то обстоятельство, что в них специально не выделяются средства дедукции, а потому многие дедуктивные шаги осуществляются на интуитивном уровне, что приводит, во-первых, к пропуску значительного числа шагов в рассуждениях, а во-вторых, к недостаточно четкой фиксации всех аксиом, необходимых для получения других положений. Именно такая ситуация имела место, напр., с геометрией, построенной Евклидом. С этой точки зрения более совершенны формальные теории, в которых оформляются (структурируются) не только само знание, но и средства его получения. К таким теориям относятся очень многие математические теории – множеств теория [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ], формальная арифметика и другие. Среди формальных особо можно выделить те теории, содержание которых фиксируется на специально созданном символическом языке, а все допустимые преобразования (в т.ч. и рассуждения) строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие их последовательности. Такого рода теории называются исчислениями.

Только относительно формальных теорий можно решать метатеоретические проблемы: устанавливать их непротиворечивость, полноту, выявлять вопрос о разрешимости, обосновывать наличие различных отношений между ними и т.д. Поэтому в науке формулируется формальное понятие теории, с которым удобно теоретически и практически работать. При этом предварительно фиксируется язык, на котором формулируется теория, и определяется понятие выводимости. В качестве языка L теории Τ берется обычно та или иная разновидность языка логики предикатов [ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ], содержащего словарь логических и нелогических терминов. В словарь логических терминов входят знаки логических констант, словарь нелогических терминов состоит из списка индивидных, предикатных и функциональных констант (если таковые имеются). Понятие выводимости в этом случае определяется средствами исчисления предикатов. Итак, пусть Τ будет некоторым множеством предложений, сформулированных на языке L, пусть А будет предложением языка L, тогда:

теория (Т) ≡_Df ∀A (T ⊦A⇔A∈T),

т.е. множество предложений Τ считается теорией при условии, что каждое предложение входит в него тогда и только тогда, когда оно выводимо из данной совокупности. Более кратко это выражается следующей словесной формулой: «теория – это множество предложений, замкнутое относительно отношения выводимости». Данное формальное понятие, хотя и является весьма абстрактным и общим, позволяет успешно решать целый комплекс проблем, возникающих при метатеоретическом исследовании теорий.

Если во множестве предложений Τ существует рекурсивное подмножество Δ, т.е. Δ может быть задано некоторой порождающей процедурой (алгоритмом), таким что

∀A(Δ⊦A⇔A∈T),

то говорят, что теория Τ аксиоматизируема. В качестве аксиом в этом случае выступают предложения, входящие в множество Δ. Если множество Δ конечно, то говорят, что теория Τ конечно аксиоматизируема.

Если список нелогических терминов не содержит конкретных имен, предметных функторов и предикаторов естественного языка, то мы имеем дело с чистой логической теорией, напр. стандартным исчислением предикатов 1-го порядка. Если же список нелогических терминов содержит какие-либо из указанных выражений естественного языка, то мы имеем дело с прикладной логической теорией. Если, кроме того, в составе теории присутствуют аксиомы, задающие смыслы этих выражений, то речь идет о нелогических теориях.

Среди теорий различают теории двух типов – дедуктивные и эмпирические. К дедуктивным относятся логические и математические теории. Эмпирические теории – это теории разнообразных эмпирических наук: физики, химии, биологии, геологии, истории, социологии, психологии и т.д. Логические и математические теории выполняют в научном познании инструментальную роль, т.е. входят в состав других теорий в качестве средств, позволяющих осуществлять индуктивные и дедуктивные процедуры вывода. Логические теории входят в состав любой другой теории – будет ли она дедуктивной или эмпирической, а потому каждая из последних может рассматриваться как прикладная логика. Математические теории входят в состав математизированных эмпирических теорий, а потому любая математизированная эмпирическая теория может трактоваться как прикладная математика. С каждой непротиворечивой теорией Τ соотносится объект (возможная реализация) вида:

P₁, Р₂,..., P_n,..., F₁, F₂,..., F_k,...>,

где U – множество объектов, а Р₁, Р₂,..., Р_п,..., F₁, F₂, ..., F_k,... – их свойства, отношения и функциональные зависимости, заданные на U. Для логических и математических теорий U – это множество абстрактных и идеальных объектов типа чисел или геометрических фигур; для эмпирических теорий U – это множество реальных предметов. На этот объект осуществляется интерпретация теории. Если каждое предложение из Τ при интерпретации принимает значение «истина», то возможная реализация называется моделью Т.

Любая теория выполняет различные познавательные функции – систематизации, объяснения, предсказания и постсказания. Под систематизацией в общем случае имеют в виду установление некоторых логических зависимостей (взаимосвязей) между фактами, т.е. введение некоторой структуры в множество фактов, описываемых в теории. Мир в этом случае предстает перед нами не как некоторая беспорядочная груда фактов, а как некоторое структурированное многообразие. Различают два способа систематизации: дедуктивную и индуктивную. Пусть Τ будет чистой эмпирической теорией, сформулированной в языке L, пусть далее h и e будут нетавтологичными фактуальными предложениями теории, тогда: T осуществляет дедуктивную систематизацию ≡_Df ∃h, e такие, что:

1) неверно, что e |– h,

2)T∪{e} |– h.

В случае, когда T – конечно аксиоматизированная теория, условие 2 можно заменить условием 2': T & e |– h.

При тех же условиях понятие индуктивной систематизации определяется следующим образом:

T осуществляет индуктивную систематизацию =_Df ∃h, e такие, что:

1) неверно, что e |~ h,

2) неверно, что T ∪ {e}|– h,

3)T∪{e} |~ h,

где «|~» – знак отношения индуктивного следования, которое обычно трактуется либо в смысле понятия позитивной релевантности, либо высокой вероятности. Чрезвычайно важными функциями теоретического знания являются функции объяснения, предсказания и постсказания. Общая схема рассуждений во всех этих случаях одна и та же, а именно: теория объясняет некоторый факт природы (предсказывает его или постсказывает), если и только если соответствующее фактуальное предложение может быть подведено под законы науки, т.е. может быть дедуцировано из утверждений теории. Иначе говоря,

T объясняет (предсказывает, постсказывает) h =_Df T |– h,

где Т – прикладная эмпирическая теория. Различие между указанными тремя функциями состоит лишь в том, что при объяснении h – это эмпирически данный нам факт, в случае предсказания h – факт, который еще только следует установить, а в постсказании h – это факт, который имел место в прошлом.

В.А.Бочаров