СВОБОДНАЯ ЛОГИКА

СВОБОДНАЯ ЛОГИКА – раздел современной логики, в котором анализируются свойства высказываний с пустыми (необозначающими) терминами. Свободной называют также логику, свободную от экзистенциальных (от лат. экзистенция – существование) допущений.

Классические логики (стандартная логика предикатов [ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ], традиционная силлогистика [СИЛЛОГИСТИКА]) являются экзистенциальными логиками. Это обусловлено двумя моментами, проявляющимися при интерпретации указанных исчислений: 1) универсум рассуждения, на котором осуществляется интерпретация, не должен быть пустым; 2) все термы (аналоги имен) в обязательном порядке должны иметь значения, свои референты в универсуме рассуждения. Нарушение этих условий приводит к несоблюдению целого ряда дедуктивных принципов классической логики.

В связи с указанными двумя условиями экзистенциальности различают два типа логик, свободных от экзистенциальных допущений, – универсальные логики и свободные. В универсальных логиках отказываются от первого условия экзистенциальности. В них интерпретация осуществляется на любое множество объектов, в том числе и пустое. Впервые такие логики были построены А.Мостовским, хотя их основные принципы содержались уже в двух теориях, построенных Ст.Лесневским – прототетике и онтологии. В свободной логике отказываются от второго условия экзистенциальности, т.е. в них допускается использование таких сингулярных терминов, которые не имеют референтов в области интерпретации. Термин «свободная логика» часто используют в более широком смысле, включающем и универсальные логики. Это связано с тем, что в пустом универсуме ни один сингулярный термин заведомо не имеет своих референтов.

Обычно в алфавит свободной логики включается специальный одноместный логический предикат существования – «Е». Выражение Е(х) читается: «х существует». Введение предиката существования обусловлено невозможностью выразить суждения сингулярного существования в классической логике. Вообще, различают два вида суждений существования – общего и сингулярного. Суждения общего существования («человек существует») и несуществования («кентавры не существуют») выразимы соответственно предложениями классической логики ∃хЧеловек(х) и ∃хКентавр(х). Однако предложения сингулярного несуществования («Пегас не существует») невыразимы в классической логике, так как единственная возможная форма их записи в классическом исчислении предикатов с равенством (∃х(х = Пегас)) является всегда ложным утверждением в силу того, что в этой логике для любого сингулярного термина «а» является логическим законом формула ∃х(х = а).

Другим основанием для введения предиката существования является использование в исчислении описательных имен – определенных и неопределенных дескрипций (⍳xΑ(x) – «тот самый х, который обладает свойством А», где «⍳» – оператор определенной дескрипции, и εxΑ(x) – «этот А», где «ε» – оператор неопределенной дескрипции). Если пустые сингулярные термины можно при самом построении исчисления элиминировать, т.е. не вводить их в алфавит, то в силу неразрешимости исчисления предикатов так нельзя поступить с дескрипциями, так как заранее не известно, обозначают они что-либо или нет.

В свободной логике вместо обычных правил удаления квантора общности и введения квантора существования принимаются следующие правила: для квантора общности – ∀xA(x), E(t)⊢A(t) и для квантора существования – A(t), E(t)⊢∃xA(x). В исчислении предикатов с равенством вместо аксиомы x = x принимается аксиома Е(х)⊃х=х.

В историческом плане первой свободной логикой явилась силлогистика, построенная Аристотелем, а в 20 в. – онтология Ст.Лесневского и Principia Mathematica Б.Рассела и А.Уайтхеда. В последней в рамках классической логики был описан и некоторый вариант свободной логики. Основная идея Б.Рассела состояла в том, что в подлинном смысле сингулярными именами являются лишь те, со значениями которых мы знакомы непосредственно (концепция значения по знакомству). Все же остальные сингулярные имена являются лишь сокращениями для некоторых скрытых дескрипций. В соответствии с этим он вводит в язык лишь подлинные (в его смысле) имена и разрешает образовывать определенные дескрипции по любому предикату А(х), но при этом все выражения с дескрипциями элиминируются за счет их контекстуального определения: Β(⍳xΑ(x)) ≡_df∃х(А(х) & ∀x∀y(A(x) & А(у) ⊃ x = у) & В(х)). Т.о., предложение с дескрипцией Β(⍳xΑ(x)) истинно, если выполнены три условия: 1) предикат А(х) не пуст, 2) предикату А(х) удовлетворяет ровно один предмет, 3) этот предмет обладает свойством В.

Другой способ ограждения классической логики от мнимых описательных имен был предложен Д.Гильбертом [ГИЛЬБЕРТ]. Последний разрешает навешивать оператор определенной дескрипции на предикат А(х) только в случае доказательства в теории теорем о непустоте предиката – ∃xΑ(x) и единственности того предмета, который удовлетворяет этому предикату – ∀x∀y(A(x) & А(у) ⊃ x=у). Недостатком этого подхода является то обстоятельство, что класс терминов оказывается не рекурсивным.

Согласно принципу В.Куайна, «существовать – значит быть значением квантифицируемой переменной», – существует все, что является элементом универсума рассуждения. Это т.н. существование в универсуме. Чтобы отличить такого рода существование от реального существования, иногда свободные логики строятся с двумя кванторами общности и существования. Одни из них действуют на всем универсуме, а другие работают лишь на некоторой выделенной области, которая рассматривается как область актуально существующих предметов.

Литература:

1. Гладких Ю.Г. Логика без экзистенциальных предпосылок. Ростов н/Д, 1984;

2. Whitehead A.N., Russell В. Principia Mathematica, v. 1–3. Cambr., 1911–1913;

3. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики, т. 1. М., 1979, т. 2. М., 1982;

4. Mostowskci A.On the rules of proof in the pure functional calculus of the first-order. – «The Journal of Symbolic Logic», v. 16, 1951;

5. Schock R. Logics without existence assumptions. Stockh., 1968.

В.А.Бочаров