ОТНОШЕНИЕ

ОТНОШЕНИЕ – связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Считается, что категорию отношения в философию ввел Аристотель (Аристотель. Соч., т. 2. М., 1978, с. 66), писавший, что нечто «есть то, что оно есть», лишь «в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому». Для соотнесенного существовать – значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. Подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определенных видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако еще до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря к-рой они становятся доступными познанию. От Платона и Аристотеля идет комплекс проблем, связанных с бытием отношений: является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. Естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, – в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и т.п.).

В современной логике отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты – в отличие от свойств как одноместных предикатов. Различают двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и вообще n-арные отношения. Уточнение категории «отношение» возможно на различных уровнях абстракции и путем различных процедур формализации. Простейший подход – теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще n-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) i>х₁</i>, <i>х₂</i>,..., <i>х_n</i, где х_i (i = 1, 2, ..., n) – переменные из нек-рой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, что между предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (х₁, х₂,..., х_n); при n = 2 – это бинарное отношение, обычно представляемое формулой x₁Rx₂, – наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, напр., равенствами и неравенствами (х₁ = х₂, х₁  х₂) для чисел и выводимостями (х₁ ⇒ х₂) для высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение x₁Rx₂, называется областью (определения) отношения R, a совокупность вторых элементов – конверсной областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через М). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения М x М, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из М. Это означает, что выполнение R для элементов x и y из M равносильно включению кортежа i>х</i>, <i>у</i в R.

Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание x₁Rx₂ относительно индивидных переменных x₁ и х₂, обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов a и b, подставляемых на места переменных x₁ и х₂. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений – R₁ и R₂;а именно R₁R₂ выполнено для x₁ и х₂ (т.е. верно высказывание x₁R₁R₂x₂), если, и только если, в множестве M существует элемент х_k, для к-рого верны как х₁R₁x_k, так и х_kR₂x₂ (если R₁ = R₂, то данная операция порождает степень отношения R₁ и обозначается R₁²). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R_-1, обладающее свойством х₁R_-1x₂ = x₂Rx₁.

Бинарное отношение R на множестве M геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества M, a отношение x₁Rx₂ изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), к-рое выходит из вершины x₁ и входит в вершину х₂. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполняются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта х_i из M верно высказывание x_iRx_i, т.е. всякий элемент х_i находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов x₁ и х₂ из высказывания x₁Rx₂ следует высказывание x₂Rx₁; (3) антисимметричность: если верно, что x₁Rx₂, то обратное отношение x₂Rx₁ верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения x₁Rx₂ и x₂Rx₃, то выполнено и отношение x₁Rx₃.

Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задает разбиение множества M на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких x₁ и х₂ верно x₁Rх₂, то x₁ и х₂ принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость x₁Rx₂ для x₁ и х₂ означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.

Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых x_i и х_j существует единственный x_k, при котором i>х_i</i>, <i>х_j</i>, <i>х_k</i входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы x_i и х_j – операндами, а элемент х_k – результатом операции х_k = х_i * х_j, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых х_k = х_i + x_j.

На заданной области M можно определить отношение и неопределенной арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Напр., если М – множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.

Для создания т.н. реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве M, a на многих множествах M₁, M₂, ..., М_m.

Литература:

1. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948;

2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971.

Ю.А.Шрейдер, Б.В.Бирюков