ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ

ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ – формальная теория, в которой описываются булевы соотношения (операции) между классами (множествами) объектов. Исчисление классов составляет часть более общей теории – множеств теории [МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ]. К числу основных булевых операций относятся операции пересечения, объединения и взятия дополнения. Они обозначаются, соответственно, знаками «», «»,«′» и (на языке элементарной логики) определяются следующим образом:

x∈AB ≡ _dfx ∈A&x ∈ В,

x∈AB ≡ _dfx ∈A∨x ∈ В,

х∈A′≡ _df(x ∈ A).

Остальные операции, напр. вычитание и симметрическая разность, определяются через основные. Кроме того, с помощью определений можно задать пустой класс: 0 ≡ _df A  А′ и универсальный – 1 ≡ _df A  А′, а также ввести отношение включения класса в класс – A⊆B≡_dfAB = A.

Исчисление классов является одной из конкретных реализаций булевой алгебры (см. Алгебра логики [АЛГЕБРА ЛОГИКИ]). Последняя является непротиворечивой, полной и разрешимой теорией, в силу чего эти же свойства верны и для исчисления классов. В качестве модели исчисления классов обычно принимается множество всех подмножеств некоторого множества. Для наглядного представления операций над классами часто используют круги Эйлера или диаграммы Венна [ВЕННА ДИАГРАММЫ]. При рассмотрении двухэлементной булевой алгебры ее реализациями являются двухэлементная логика классов, в которой имеются только универсальный и пустой классы, а также классическая факторалгебра высказываний и теория контактных сетей. Исчисление классов эквивалентно одноместному исчислению предикатов (см. Логика предикатов [ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ]), а также т.н. расширенной аристотелевской силлогистике [СИЛЛОГИСТИКА].

В.А.Бочаров