Логика Предикатов

Раздел дедуктивной логики, в котором ведущую роль играет влияние внутренней структуры суждений на логический вывод. Поскольку здесь полностью сохраняется характер связей логики высказываний (см. "Логика высказываний"), то Л. п. можно рассматривать как расширение последней. Классический вариант Л. п. является непосредственным преемником аристотелевской силлогистики, но субъектно-предикативная структура суждений анализируется теперь с большей глубиной Алфавит Л. п., помимо символов логики высказываний, содержит также символы предметов: предметные переменные (х1, х2, хЗ, ...) и предметные константы (а1, а2, аЗ, ...); символы свойств и отношений: предикатные буквы (P, Q, R ...); функциональные буквы (fl, f2, О, ...); кванторы: V — квантор общности ("для всех") и 3 — квантор существования ("существует"). Дадим определение терма Л. п.: a) всякая предметная переменная или константа есть терм; b) если f — функциональная буква и tl,...,tn — термы, то f(tl, ..., tn) есть терм; c) больше никаких термов, кроме указанных в а) и Ь), нет. Элементарные формулы Фо получаются посредством применения предикатных букв к термам: P(tl, ..., tn). В зависимости от величины n определяется "местность" функциональных и предикатных букв. Например, P(t) — одноместный предикат (свойство), R(tl, t2) — двухместный предикат (бинарное отношение) и т. д. Синтаксическая категория формул ? Л. п. определяется так же, как и в логике высказываний, но добавляется следующее положение: — если А формула и ? — предметная переменная, тоУхАиЭхА — тоже формулы. Т. о. силлогистика является теорией одноместных предикатов и четыре формы ее суждений приобретают следующий вид: А — V ? (S(x) -" Р(х)) или (-3 ? (S(x) & (^Р(х)))); E — V ? (S(x) -> (ШР(х))) или (-d x (S) & ?(?))); I — ? ? (S(x) & ?(?)) или (-iV ? (S(x) -> (^?(?)))); О — 3 ? (S(x) & (-.P(x))) или (-.V ? (S(x) -> ?(?))), где S(x) и Р(х) — одноместные предикаты, соответствующие субъекту и предикату суждений. Л. п. невозможно представить в виде алгебраической системы, т. к. процедура определения истинности ее формул, содержащих кванторы, в общем случае заключается в подстановке всех возможных значений предметных переменных. Поскольку предметная область может быть бесконечной, то и эта процедура может оказаться бесконечной. Л. п. организуется в виде исчисления предикатов, которое содержит аксиомы и правила вывода исчисления высказываний, дополняя их собственными; это исчисление непротиворечиво, полно, но неразрешимо. А. Г. Кислов