Интуиционизм

Направление в обосновании математики и логики, согласно которому конечным критерием приемлемости методов и результатов этих наук является наглядно-содержательная интуиция. Вся математика должна опираться, согласно И., на интуитивное представление ряда натуральных чисел и на принцип математической индукции, истолковываемый как требование действовать последовательно, шаг за шагом; допускаются лишь конструктивные доказательства существования рассматриваемого объекта, указывающие способ его построения. Создателем И. является голландский математик Л. Э. Я. Брауэр (1881 — 1966). В начале XX в. он выдвинул программу радикальной перестройки математики, противопоставив ее концепции сведения математики к логике (см.: Логицизм) и истолкованию математики исключительно как языка математических символов (см.: Формализм). Представители И. полагают, что чистая математика является мыслительной активностью, не зависящей от языка, ее объект -нелингвистические математические конструкции. Язык служит лишь для сообщения математических идей, математика не сводится к языку и тем более не может быть истолкована как особый язык. Предметом исследования (математической) логики является математический язык, более или менее адекватно передающий математические построения. Логика вторична по отношению к математике, последняя не может быть обоснована с помощью логических средств. Основной тезис интуиционистов гласит, что существование в математике — это то же самое, что конструктивность, или "построяемость". Из существования математического объекта вытекает его непротиворечивость, но не наоборот: не каждый непротиворечивый объект существует. Построение является единственным средством обоснования в математике. Интуиционисты подвергли резкой критике закон исключенного третьего, закон (снятия) двойного отрицания и ряд других законов логики классической. Согласно Брауэру, логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Закон исключенного третьего, верный в случае конечной математики, неприменим в рассуждениях о бесконечных множествах. Объекты бесконечного множества невозможно перебрать. Если в процессе перебора не удалось найти элемент с требуемым свойством, ни утверждение о существовании такого объекта,ни отрицание этого утверждения не является истинным. Критика И. классической логики привела к созданию нового направления в логике — интуиционистской логики. Одновременно с Брауэром сомнения в универсальной приложимости закона исключенного третьего высказал рус. философ и логик Н. А. Васильев (1880-1940). Он ставил своей задачей построение такой системы логики, в которой была бы ограничена не только сфера действия этого закона, но и непротиворечия закона. Казавшиеся парадоксальными, идеи Васильева не были в свое время оценены по достоинству.