Стеклова Проблемы

В теории ортогональных многочленов — задачи, в которых асимптотич. свойства ортогональных многочленов рассматриваются в зависимости от свойств и, в частности, от особенностей весовой функции и контура ортогональности. При изучении многочленов ,ортонормированных на сегменте [-1, 1] с весом возникает вопрос об условиях ограниченности последовательности в отдельной точке либо на нек-ром множестве либо на всем сегменте ортогональности. Этот вопрос важен потому, что при ограниченности последовательности на ряды Фурье по ортогональным многочленам переносятся нек-рые свойства тригонометрич. рядов Фурье. В. А. Стеклов [1] высказал предположение, что для выполнения неравенства необходимо н достаточно выполнение условия Значение функции h0(t)в точке x, где рассматриваются неравенства (2) п (3), должно быть связано со значениями этой функции в точках, близких к x, и задача заключается в том, чтобы вывести (2) из (3) при минимальных ограничениях на функцию h0(t)в окрестности точки x (первая задача Стеклова). Имеются (см. [2], [5]) различные локальные и глобальные условия, при к-рых из (3) следует (2). В частности, если в (1) функция h0(x)положительна, непрерывна и удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям, то для многочленов имеет место асимптотич. формула, из к-рой следует неравенство (2) при A = [-1, 1]. Кроме того, Стеклов [1] рассмотрел случаи алгебраич. нулей весовой функции и установил ряд результатов, послуживших началом двух направлений исследований. Одно из них характеризуется т. н. глобальными, или равномерными, оценками роста ортонорми-рованных многочленов, к-рые получаются при довольно общих условиях на весовую функцию (вторая задача Стеклова). Напр. (см. [2], с. 177), если неравенство (3) выполняется на всем сегменте [-1, 1], то существует такая последовательность что имеет место неравенство Третья задача Стеклова состоит в исследовании асимптотич. свойств ортогональных многочленов при гладких особенностях весовой функции. К этому направлению можно отнести асимптотич. свойства Якоби многочленов, весовая функция к-рых имеет особенности на концах сегмента ортогональности, с чем связано различие асимптотич. свойств многочленов Якоби внутри интервала (-1, 1) и на его концах. Отличие результатов последнего направления от глобальных оценок ортогональных многочленов состоит в том, что в этом случае весовая функция может обращаться в отдельных точках в нуль или бесконечность определенного порядка и удовлетворяет нек-рым условиям гладкости. При этом асимптотич. формулы и оценки для ортогональных многочленов устанавливаются отдельно в особых точках весовой функции (нули, полюса, концы сегмента ортогональности) и на остальной части сегмента ортогональности. Формулировки и особенно доказательства по всем вышеперечисленным вопросам наиболее естественны в случае многочленов, ортогональных на окружности, ибо в этом случае можно применять многие результаты о приближении периодич. функций тригонометрич. полиномами. Лит.:[1] Стеклов В. А., лИзв. Российской Акад. наук