Спектральная Последовательность

Последовательность дифференциальных модулей, каждый из к-рых является модулем гомологии предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных или триградуированных) модулей, к-рые изображают графически в виде наложенных друг на друга таблиц на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п. объектов произвольной абелевой категории (напр., бимодулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.). Все известные С. п. получаются из точных пар. Точной парой (D1,Е 1,i1,j1,k1) наз. точная диаграмма вида Гомоморфизм dl=j1ki является дифференциалом в Е 1. По каждой точной паре можно построить производную точную пару (D2,E2,i2,y2,k2), для к-рой D2=Im i1 и E2=H(E1, d1). Итерирование этой конструкции дает С. п. . 1) С. п. Лере. Фильтрованный цепной комплекс модулей , d )определяет точную пару биградуированных модулей Dlp,q=Hp+q(KP), E1q,q=Hp+q(KP/KP-1). В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала dr равна (-r, r-1) и Модули образуют фильтрацию в H*(K). Биградуированный модуль наз. присоединенным к Н * (К). Фильтрация наз. регулярной, если Kp=0 при р<0, при q<0и Для регулярной фильтрации или р<0 или q<0; такая С. п. наз. С. п. первой четверти. Кроме того, при r>max ( р,q+1). В этом случае говорят, что С. п. сходится к Н * (К), и пишут 2) С. п. Лере — Серра. Частный случай С. п. Лере возникает из цепного (или коцепного) комплекса фильтрованного топологич. пространства. Напр., фильтрация клеточного разбиения Xего остовами дает вырожденную С. п. для к-рой при и С. п. Лере — Серра получается из фильтрации тотального пространства . расслоения в смысле Серра прообразами р -1( В п )остовов В п базы В. Если слой Fи база Влинейно связны, то для каждой группы коэффициентов G это дает С. п. с дифференциалами dr бистепени ( — r, r-1), для к-рой где — система локальных коэффициентов над В, состоящая из групп Н q(F; G). При этом гомоморфизм совпадает с композицией а гомоморфизм совпадает с композицией где r достаточно велико. Дифференциал С. п. совпадает с трансгрессией: Этой гомологич. С. п. Лере — Серра двойственна когомологич. С. п. Лере — Серра с дифференциалами dr бистепени (r, -r+1), для к-рой Если Gявляется кольцом, токаждый член Е r является биградуированным кольцом, дифференциал dr является дифференцированием кольца Е r и умножение в Е r+1 индуцировано умножением в Е r. Если G — поле и база Водносвязна, то 3) С. п. Атьи — Xирцебруха (- Уайтхеда ) получается применением функтора обобщенных (ко)гомологий к той же фильтрации пространства Е. В ее когомологич. варианте В отличие от С. п. Лере — Серра С. п. Атьи — Хирцебруха для тривиального расслоения вообще говоря, невырождена. 4) С. п. Эйленберга — Мура ассоциирована с каждым квадратом расслоений В ее когомологич. варианте Если R — поле и квадрат состоит из H-пространств и H-отображений, то эта С. п.- в категории биградуированных алгебр Хопфа. 5) С. п. Адамса пишется для каждого простого и любых пространств Xи Y(удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее где А р — Стинрода алгебра rnod p. Бистепень dr равна (r, r-1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при r>s существует мономорфизм и, значит, определена группа Существует такая убывающая фильтрация группы стабильных гомотопич. классов отображении что а состоит из всех элементов группы конечного порядка, взаимно простого с р. Эта С. п. при Х=Y=S позволяет лв принципе