Пограничного Слоя Теория

Асимптотическое приближение решения граничных задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных (сингулярных задач) в подобластях с существенным влиянием членов со старшими производными на решение. Явление пограничного слоя (п. с.) возникает в узких зонах вблизи частей границы, на к-рых существует различие между числом граничных условий исходной и вырожденной (при нулевом значении параметра малости) задач, а также вблизи поверхностей разрыва решения вырожденной задачи. Решение сингулярных задач представимо суммой двух разложений. Внешнее разложение дает метод малого параметра с частью В 0 граничных условий B=B0+B1 задачи. Внутреннее разложение быстро убывает вне п. с. и отыскивается, как правило, в виде многочленов по степеням е. Для их определения дифференциальные уравнения преобразуются к переменным, зависящим от е и растягивающим подобласти пограничного слоя. Уравнения п. с. возникают в результате приравнивания нулю коэффициентов при различных степенях е после подстановки многочленов в преобразованные уравнения. К ним добавляются условия В 1. Оценка погрешности внешнего разложения, если она найдена, показывает необходимую замену переменных. При решении сложных прикладных задач необходимая замена переменных может быть выявлена на основе физич. оценки величин членов исходных уравнений и соответствующих им упрощений и должна освободить старшие производные от e. Для решения задачи необходимо определить, где расположены п. с. и как условия Вразделяются на В 0 и В 1. Своеобразие такого решения заключается в том, что исходным эллиптич. уравнением могут отвечать гиперболич. уравнения внешних разложений и параболические — внутренних разложений. В теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений (1) где xи f суть m-мерные, а уи gсуть n-мерные векторные функции, для задачи Копти с условиями х(0, e)=х 0, у(0,e)=y0 и определенными свойствами f и gдоказана теорема существования и единственности решения и установлены свойства решения при (см. [1]). В случае краевой задачи для уравнения (1) с условиями где сумма числа компонент векторов у, и г/2 равна п, существуют, вообще говоря, п. с. в окрестностях концов сегмента [О, Т]. Построен алгоритм нахождения асимптотики решения этой задачи, при определенных свойствах функций f и gдоказано существование и единственность решения и даны его оценки (см. [3]). В случае неединственности решения предельного уравнения g=0 относительно упостроен внутренний (в окрестности t, 0<t<T) п. с., разделяющий области с различными решениями предельного уравнения. Для одного типа интегро-дифференциального уравнения построен алгоритм асимптотич. разложения по е задачи с начальными условиями и исследованы нек-рые особенности поведения решений. В случае линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (L+eM)x=f(t),, где Lи М — дифференциальные операторы, с граничными условиями B0+B1 выделен класс задач, решение к-рых содержит п. с., и введено понятие регулярного вырождения, при к-ром решение предельного уравнения позволяет удовлетворить условиям В 0, а асимптотич. решение для п. с.- условиям B1 (см. [4]). Построен итерационный процесс асимптотич. представления решения и даны оценки остаточных членов разложений. В П. с. т. общего нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка при определенных предположениях доказано (см. [5]), что решение 1-й краевой задачи складывается из внешнего решения, п. с. и остаточного члена, имеющего с 1-й производной порядок e на всем сегменте. Изучено поведение решений краевых задач основных типов для линейного уравнения счастными производными вида где D — оператор Лапласа, в области Dс границей S. Построены условия на функции А, В, С, f, границу Sи функции а, j точки Рлинии S, входящие в граничное условие и п+а (Р).j(Р), при к-рых ив D+S равномерно стремится к решению предельного уравнения с приведенным граничным условием на определенной части S(отсутствие ц. с.) (см. [6]). Для эллиптич. уравнения 2-го порядка в области Dс границей S на примере двух независимых переменных построены итерационные процессы решения задачи с условием u=0 на S, доказаны теоремы о структуре разложения ипо e и даны оценки остаточного члена этого разложения (см. [4]). Аналогичные результаты получены и для уравнений высших порядков. Разработан (см. [7]) метод сращивания асимптотич. разложений для уравнения в прямоугольнике с заданным ина его границе. Исследования П. с. т. для нелинейных уравнений с частными производными связаны в основном с аэрогидродинамикой и базируются на уравнениях Навье — Стокса и их обобщениях. Запросы практики привели как к развитию математич. теории, так и к возникновению различных задач и методов их решения. Здесь речь будет идти только о ламинарных течениях (см. [8] — [10]). Гидродинамика плоских (k=0) и осесимметричных (k=1) течений несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости v описывается уравнениями Навье — Стокса (2) где — число Рейнольдса, представленное через характерные величины скорости wи линейного размера X. На замкнутой границе Sобласти Dрешения задаются краевые условия, причем на обтекаемом контуре Г при h=H(x) задаются условия , где — касательная и нормальная к Г составляющие вектора ( и, v). В D+S задаются начальные значения u, v, p. При малом e асимптотич. решение задачи в первом приближении составляется из решения уравнений (2) при e=0 с частью условий на S(на Г ставится только условие v=v0) и решения уравнений п. с. Уравнения динамического п. с. выводятся в предположении, что условная толщина п, с. d и величина vимеют порядки , а члены левых частей последних уравнений из (2) имеют порядок членов с e2. Введение переменных приводит при к уравнениям Прандтля с условиями при где r — расстояние от оси симметрии при k=1, W (х) — известная функция. Эти уравнения и условия справедливы для любого криволинейного контура, радиус кривизны к-рого много больше d. В последнем случае x, у- координаты вдоль контура и по нормали к нему. При постоянном Wзадача сводится к краевой для обыкновенного дифференциального уравнения. Имеются и другие классы подобных решений. Известны условия, при к-рых решения задач п. с. существуют, исследованы вопросы единственности и устойчивости решений и их выхода на решения стационарных задач (см. [11]). Решения строятся по методу прямых, доказана их сходимость. Уравнения п. с. для сжимаемой жидкости выводятся из уравнений для течений вязкого и теплопроводного газа и значительно более сложны, чем (3). Возрастает и их количество. Имеется интегральное преобразование, упрощающее эти уравнения в общем случае и сводящее их к (3) при числе Прандтля Pr=Cp/K=1, где С р- теплоемкость газа при постоянном давлении, К- коэффициент теплопроводности (см. [12]). Известен ряд модификаций преобразования. В общем случае уравнения п. с. описывают т. н. естественные конвективные течения. Если v не зависит от температуры и архимедова сила пренебрежимо мала, то уравнение энергии отделяется от системы уравнений п. с. и говорят о вынужденных конвективных течениях. Уравнение энергии определяет тепловой п. с., толщина к-рого отличается от d. П. с. возникают и в зоне раздела течений с различными характерными скоростями. Ударные волны также являются п. с. Отдельный класс двумерных задач п. с. связан с течениями у вращающихся осесимметричных пластин и тел. Вместе с развитием методов решения нестационарных задач решены задачи с периодическим W, при движении скачком из состояния покоя, при ускоренном движении, для п. с. за ударной волной, при переменной температуре обтекаемой поверхности. В П. с. т. трехмерных течений развиты методы решения задач и рассмотрены случаи, приводящие к упрощению уравнений. Уравнения п. с. на скользящем цилиндрич. крыле бесконечного размаха аналогичны уравнениям двумерного п. с. В приближенной постановке решены задачи п. с. на вращающейся цилиндрич. лопасти пропеллера и на вращающемся цилиндре в косо набегающем потоке, а также задача п. с. вблизи линии пересечения двух плоскостей. Перечисленные исследования п. с. в аэрогидродинамике относятся к первому приближению П. с. т. Высшие приближения позволяют проводить исследования взаимодействия п. с. с внешним потоком, а также расчеты при умеренных числах R(см. [13]). Устойчивость п. с. позволяет определить границы применимости теории. Имеются исследования (см. [14]) на основе метода малых возмущении с периодическими и локальными начальными возмущениями. В случае плоских течений анализ 3-мерных возмущений в линейном приближении сводится на основании, теоремы Сквайра к 2-мерному с измененным значением v. Нелинейный анализ при потере устойчивости обнаруживает появление продольных вихрей. Физич. обобщения задач П. с. т. (см. [15] — [17]) связаны с изучением многофазных течений, с использованием реальных уравнений состояния и коэффициентов переноса (усложнение уравнений), с рассмотрением неравновесных течений с диффузией (расширение системы уравнений и приобретение ею парабо-лико-гиперболич. типа), с учетом абляции обтекаемой поверхности (усложнение граничных условий и необходимость расчета теплопроводности в теле), с учетом переноса излучения (интегро-дифференциальные уравнения). Дальнейшее развитие П. с. т. в аэрогидродинамике получила при исследовании течений, не удовлетворяющих предположениям Прандтля, с решениями в виде многослойных асимптотич. разложений. Источником сложности структуры решения являются дополнительные малые параметры в граничных условиях (напр., из-за малого радиуса кривизны обтекаемого контура), существования особых точек, линий или поверхностей в первом приближении П. с. т., а также возможная бифуркация решения. К этому классу относятся течения около точек отрыва и присоединения п. с. к обтекаемому контуру и около точек падения на п. с. ударных волн. Характерные решения (см. [18] — [20]) имеют трехслойную структуру. Внешнее решение определяет возмущенное п. с. потенциальное течение и описывается уравнениями в возмущениях. Средний слой толщины порядка Хeописывается уравнениями невязких завихренных течений с р у=0, и в него поступает газ из основной части предшествующего п. с. Уравнения 3-го, самого тонкого, пристеночного слоя выводятся в предположении, что его длина и толщина имеют соответственно порядки Введение в стационарном случае переменных приводит при снова к уравнениям (3), в к-рых следует изаменить на U, а р — на Р. Эта структура решения задачи характерна для широкого класса течений с малыми величинами возмущений. Исследованы многие задачи динамики течений при малых e, в к-рых на коротких расстояниях давление во внешнем сверхзвуковом ( М>1, М=w/c, где w — скорость газа, с — скорость звука) потоке меняется сильно. К ним относятся задачи расчета обтекания контуров с большой локальной кривизной и присоединения потока к поверхности тела. В этих случаях при трехслойной схеме решения в среднем слое . Изучен класс задач, в к-рых возмущенное решение занимает конечную область. Эти решения реализуются на режимах умеренного и сильного взаимодействия п. с. с внешним гиперзвуковым () потоком и при сверхзвуковом обтекании тел конечной длины, через поверхность к-рых производится интенсивный вдув (v0>0) газа. В этих задачах величина давления на всей внешней границе п. с. определяется из решения полной задачи. Возмущение от задней кромки тела распространяется вверх по потоку, что определяется неединственностью решения в окрестности передней кромки тела. Лит.:[1] Тихонов А. Н., "Матем. сб.", 1952, т. 31, №3, с. 575-86; [2] Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1968; [3] Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, М., 1973; [4] Вишик М. И., Люстерник Л. А., "Успехи матем. наук", 1957, т. 12, в. 5, с. 3-122; 1960, т. 15, в. 3, с. 3-80; [5] Коул Д ж., Методы возмущений в прикладной математике, пер. с англ., М., 1972; [6] Олейник О. А., "Матем. сб.", 1952, т. 31, № 1, с. 104-17; [7] Ильин А. М., Леликова Е. Ф., там же, 1975, т. 96, № 4, с. 568-83; [8] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 4 изд., ч. 2, М., 1963; [9] Лойцянский Л. Г., Ламинарный пограничный слой, М., 1962; [10] Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, пер. с нем., М., 1974; [11] Олейник О. А., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 3, с. 3-65; [12] Дородницын А. А., "Прикл. матем. и механ.", 1942, т. 6, в. 6, с. 449-86; [13] Ван-Дайк М., Методы возмущений в механике жидкости, пер. с англ., М., 1967; [14] Бетчов Р., Криминале В., Вопросы гидродинамической устойчивости, пер. с англ., М., 1971; [15] Coy С., Гидродинамика многофазных систем, пер. с англ., М., 1971; [16] Дорренс У. X., Гиперзвуковые течения вязкого газа, пер. с англ., М., 1966; [17] Кэйс В. М., Конвективный тепло- и массообмен, пер. с англ., М., 1972; [18] Нейланд В. Я., "Изв. АН СССР. Механ. жидк. и газа", 1969 № 4, с. 53-57; [19] его же, "Тр. ЦАГИ", 1974, в. 1529; [20] Stewartson К., "Advances Appl. Mech.", 1974, v. 14, p. 145-239. Ю. Д. Шмыглевский.