Нелинейное Уравнение С Частными Производными

Уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у. При этом относительно функций предполагается выполненным ряд условий, к-рые обеспечивают, что нелинейные операторы будут определены в соответствующих функциональных пространствах и обладать рядом свойств. Напр., для разрешимости краевой задачи в ограниченной области с условиями для уравнения (11) достаточно выполнение условий:1) Функции являются измеримыми по хпри всех , непрерывными по почти при всех и удовлетворяют неравенству с и , 2) Выполнено следующее условие коэрцитивности: для любой функции из пространства Соболева справедливо неравенство3) Выполнено условие монотонности: для любых функций и из справедливо неравенство Тогда при выполнении условий 1) -3) краевая задача (12) для уравнения (11) при любой функции f из сопряженного пространства имеет решение из Все эти условия можно существенно расширить. Напр., для дифференциальных операторов вида (11) с граничными условиями (12), к-рые являются нечетными и однородными в главном при нек-рых условиях, но без условия коэрцитивности, справедлива альтернатива Фредгольма: если соответствующая краевая задача с нулевыми граничными условиями (12) для уравнения (11) с f=0 имеет только тривиальное решение, то эта задача разрешима при любой функции f из соответствующего сопряженного пространства. Для широкого класса краевых (смешанных) задач для Н. у. с ч. п. развита теория нормальной разрешимости, к-рая обобщает теорию нормальной разрешимости (по Хаусдорфу) линейных операторных уравнений на нелинейный случай. Эта теория дает достаточные условия разрешимости краевых (смешанных) задач для нелинейных уравнений и систем уравнений парабо-лич. типа и для слабо нелинейных уравнений и систем гиперболич. типа. В теории краевых задач для нелинейных уравнений эллиптич. типа особое место занимает вопрос о существовании собственных функций. Теория собственных функций краевых задач для квазилинейных уравнений эллиптич. типа развита для достаточно широкого класса задач. В частности, на широкий класс задач перенесена абстрактная теория Люстерника — Шнирельмана о существовании счетного множества собственных функций. Особое место в теории нелинейных уравнений эллиптич. типа высшего порядка и в теории систем нелинейных уравнений эллиптич. типа с числом независимых переменных, большим двух, занимает вопрос о регулярности решений этих уравнений и систем. В случае скалярного квазилинейного равномерно эллиптич. уравнения второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами, удовлетворяющими вместе со своими первыми производными определенным условиям роста, решение обладает гладкостью внутри области на две производные, превышающие гладкость правой части из соответствующего пространства. В случае квазилинейных уравнений эллиптич. типа порядка выше двух и систем квазилинейных уравнений эллиптич. типа второго либо более высокого порядка с числом независимых переменных, большим двух, соответствующая гладкость решений имеет место не всюду внутри области, а почти всюду. При дополнительных условиях удается уточнить размерность этой нулевой (хаусдорфовой) меры, на множествах к-рой, вообще говоря, гладкость решений теряется. Для специального класса квазилинейных эллиптич. систем с ограниченными нелинейностями установлена регулярность решений всюду в области. Развита теория краевых задач для широкого класса квазилинейных уравнений дивергентного вида бесконечного порядка. Теория точных решений. К методам точных решений относятся: метод, основанный на групповом анализе Н. у. с ч. п.; метод, основанный на преобразованиях Ли — Беклунда; метод, основанный на обратной задаче теории рассеяния, и нек-рые др. Метод обратной задачи рассеяния позволил исследовать ряд физически важных уравнений, таких, как нелинейные уравнения Кортевега — де Фриса: нелинейное уравнение синус-Гордона: нелинейное уравнение Шрёдингера: и ряд других с одной пространственной переменной . С помощью этого метода удалось рассмотреть отдельные нелинейные уравнения типа уравнения Кортевега — де Фриса с двумя пространственными переменными. Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [2] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, 2 изд., М., 1973; [3] Gilbarg D., Trudinger N. S., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, В.- N. Y., 1977; [4] Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., 19В7; [5] Фридман А., Уравнения с частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [6] Ниренберг Л., Лекции по нелинейному функциональному анализу, пер. с англ., М., 1977; [7] Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с франц., М., 1972; [8] Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений..., М., 1978; [9] Скрипник И. В., Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, К., 1973: [10] Pucik S., Netas J., Sоucеk J., Soucek V., Spectral Analysis of Nonlinear Operators, В., 1973: [11] Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; [12] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П., Теория солитонов. Метод обратной задачи, М., 1080: [13] Вишик М. И., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1003, т. 12, с. 125-64; [14] Giaquinta M., Modica G., "Manuscripta math.", 1979, v. 28, № 1-3, p. 109-58; [15] Дубинский Ю. А., "Матем. сб.", 1975, т. 98, .№ 2, с. 163-84; [16] Kazdan J. L., Kramer R., "Comm. pure and appl. Math.", 1978, v. 31, MS 5, p. 619-45; [17] Кoшелев А. И., "Успехи матем. наук", 1978, т. 33, в. 4, с. 3-49; [18] Кружков С. Н., "Матем. сб.", 1970, т. 81, № 2, с. 228-55: [19] его же, "Тр. Моск. матем. об-ва", 1967, т. 16, с. 329-46; [20] Олейник О. А., "Успехи матем. наук", 1959, т. 14, в. 2, с. 165 — 70; [21] Похожаев С. И., "Матем. сб.", 1970, т. 82, № 2, с. 192-212; [22] его же, "Матем. сб.", 1975, т. 90, № 1, с. 152-66; [23] его же,. "Матем. сб.", 1980, т. 113, № 2, с. 324-38. С. И. Похожаев.