Многогранника Группа
Группа Sym Рсимметрии многогранника Рв n-мерном евклидовом пространстве E n , т. е. группа всех движений пространства Е n, переводящих Рв себя. Многогранник Рназ. правильным, если группа Sym Pтранзитивно действует на множестве его "флагов" — наборов где есть k-мерная замкнутая грань и Группа симметрии правильного многогранника порождается отражениями (см. Отражений группа). Ее фундаментальной областью является симшшциальный конус К, вершина к-рого совпадает с центром многогранника Р, а ребра проходят через центры граней, составляющих какой-либо флаг F. Тем самым образующие отражения r1,..., r п группы Sym Pполучают естественную нумерацию: rk есть отражение относительно той гиперплоскости, ограничивающей K, к-рая не проходит через центр грани Г k-1. Образующие и при коммутируют, а порядок равен числу k-мерных (или (к-1)-мерных) граней многогранника Tk + 1 , содержащих грань (если считать, что ). Последовательность наз. символом Шлефли многогранника. Трехмерные правильные многогранники (тела Платона) имеют следующие символы Шлефли: тетраэдр — , куб — , октаэдр — , додекаэдр — , икосаэдр — . Символ Шлефли определяет правильный многогранник с точностью до подобия. Обращению символа Шлефли соответствует переход к взаимному многограннику, вершинами к-рого служат центры (п- 1)-мерных граней многогранника Р. Взаимные многогранники имеют одинаковые группы симметрии. Все возможные символы Шлефли правильных многогранников можно получить из классификации конечных групп отражений, выделив из них те, граф Кокстера к-рых линеен. При в существует лишь 3 правильных многогранника: симплекс, куб и многогранник взаимный кубу (аналог октаэдра). Их символы Шлефли суть , и . В 4-мерном пространстве имеется 6 правильных многогранников; , , , , и . Каждая грань правильного многогранника Ртакже является правильным многогранником, причем ее символ Шлефли есть начальный отрезок символа Шлефли самого многогранника Р. Напр., 3-мерная грань многогранника имеет символ Шлефли , т. е. является додекаэдром. Лит.:[1] Coxeter H. S. M., Regular Polytopes, 2 ed., N. Y.- L., 1963; [2] Pозенфельд Б. А., 'Многомерные пространства, М., 1066. Э. Б. Винберг.
