Линейное Эллиптическое Уравнение И Система

Дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида где L — линейный эллиптич. оператор Оператор (1) с действительными коэффициентами эллиптичен в точке х, если характеристич. форма является определенной в этой точке. Здесь — мультииндекс (набор целых неотрицательных чисел), В частности, порядок топератора Lдолжен быть четным m=2m'. С точностью до знака условие определенности форм записывается в виде Оператор Lэллиптичен в области D, если он эллиптичен в каждой точке и равномерно эллиптичен в этой области, если в (2) не зависит от х. В случае уравнения 2-го порядка это определение может быть переформулировано следующим образом. Уравнение (3) эллиптично в области D, если в каждой точке этой области путем замены независимых переменных оно допускает приведение к канонич. виду с оператором Лапласа в главной части. В случае эллиптич. уравнения на плоскости при весьма широких предположениях относительно коэффициентов такое преобразование возможно не только в точке, но и во всей области (с. Шаудеровские оценки получили дальнейшее распространение для общих л. э. у. и краевых задач (см. [7]). Вывод этих оценок основан на теории потенциала. С помощью разбиения единицы им придается локальный характер, и дело сводится к оценке норм сингулярных интегральных операторов, к-рые представляют собой свертку с функциями, связанными с фундаментальными решениями (оценки "внутри") или с функциями Грина соответствующей краевой задачи в нек-рой стандартной области (оценки "вплоть до границы"). Эти оценки, полученные первоначально в метрике пространств Гёльдера распространены на пространства Соболева (Lp -оценки) и относятся к обобщенным решениям. Для сильно эллиптич. операторов существует априорная оценка, наз. неравенством Гёрдинга, к-рая получена другими методами. Она лежит в основе функционального подхода к исследованию краевых задач (методы гильбертовых пространств). В теории л. э. у. важное место занимают фундаментальные решения. Для оператора (1) с достаточно гладкими коэффициентами фундаментальное решение определяется как функция J(x, y), удовлетворяющая условию для всех С точки зрения теории обобщенных функций это означает равенство где справа стоит дельта-функция Дирака. Фундаментальные решения л. э. у. существуют для уравнений с аналитич. оэффициентами (и сами тогда аналитичны), для уравнений с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (и также принадлежащие классу ) и для ряда других уравнений с более слабыми ограничениями на коэффициенты. Для эллиптич. оператора L0 с постоянными коэффициентами, состоящего из членов старшего порядка т=2т', фундаментальное решение зависит только от разности аргументов и имеет вид ( у=0). где q(х) — многочлен степени т-п при четном пи в остальных случаях аналитична на сфере |x| = 1 (см. 18]). В частности, для оператора Лапласа (m = 2) q = 0, для n>2 и q=const, для п=2. Фундаментальные решения позволяют строить различные явные представления для решений л. э. у. Они являются необходимым аппаратом при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений. Для уравнения 2-го порядка этот метод является классическим и дает наиболее точные результаты (см. [9]). Многообразные применения в теории л. э. у. 2-го порядка получил принцип максимума. Функции а ij, а i, а предполагаются непрерывными, оператор (3) равномерно эллиптичным в нек-рой области D. Функция и(х).непрерывна в замыкании и принадлежит классу C2(D). Принцип максимума в его сильной форме заключается в следующем. Пусть М — оператор Lв (3), в котором а) Если . и функция и(х).достигает своего максимума во внутренней точке, то ипостоянна. б) Если и максимум идостигается в иек-рой граничной точке х 0, к-рая расположена на поверхности нек-рого шара, целиком содержащегося в то и(х).либо постоянна, либо производная в точке х 0 по направлению внешней нормали du/dv положительна. Аналогичные утверждения справедливы для оператора Lс если в а) и б) под максимумом понимать положительный максимум. Принцип максимума является существенным элементом в доказательствах теорем единственности для решений ряда краевых задач. Он также имеет нек-рые аналоги в случае уравнений высшего порядка. Лит.: [1] В е к у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; [2] Б и ц а д з е А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л., Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных производных при общих граничных условиях, пер. с англ., М., 1962; [4] Йон Ф., Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 1958; [5] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [6] Берн штейн С. Н., Собр. соч., т. 3, М., 1960; [7] Schauder J., "Math. Z.", 1934, Bd 38, S. 257 — 82; [8] Лопатинcкий Я. Б.. "Укр. матем. ж.", 1953, т. 5, № 2, с. 123 — 51; [9] В и шик М. И., "Матем. сб.", 1951, т. 29, № 3, с. 615-76. А. П. Солдатов.