Клеро Уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, не разрешенное относительно производной: где f(t)- нелинейная функция. Уравнение (1) называется по имени А. Клеро [1], к-рый впервые указал на различие общего и особого решений уравнения такого вида. К. у. является частным случаем уравнения Лагранжа. Если и при то множество интегральных кривых уравнения (1) включает в себя: параметрически заданную кривую однопараметрич. семейство прямых касательных к кривой (2); кривые, составленные из произвольного участка кривой (2) и двух прямых семейства (3), касающихся кривой (2) в концах этого участка. Семейство прямых (3) представляет собой общее решение, а кривая (2), являющаяся огибающей семейства (3),- особое решение (см. [2]). Семейство касательных к гладкой нелинейной кривой удовлетворяет К. у. Поэтому к К. у. приводят геометрич. задачи, в к-рых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательных (общему для всех точек кривой). Уравнением Клеро наз. также уравнение с частными производными 1-го порядка оно имеет интеграл где (a, b) — произвольная точка области определения функции f(p, q )(см. [3]). Лит.:[1] Clairaut А., в кн.: Histoire de l'Academie Royal des sciences. Annee 1734, P., 1736, p. 196-215; [2] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; [3] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966. Н. X. Розов.