Классические Ортогональные Многочлены

Общее название Якоби многочленов, Эрмита 'многочленов, Лагерра многочленов и Чебышева многочленов. Эти системы ортогональных многочленов обладают общими свойствами:1) Весовая функция j(х)на интервале ортогональности ( а, b )удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона причем на концах интервала ортогональности выполняются условия2) Многочлен у=Р п (х)порядка пудовлетворяет дифференциальному уравнению3) Имеет место обобщенная Родрига формула где с п- некоторый нормировочный коэффициент.4) Производные К. о. м. суть также К. о. м. и ортогональны на том же интервале ортогональности, вообще говоря, с другим весом.5) Для производящей функции имеет место представление где ортогональны на сегменте [-1,1] с весом j(х)=(1-x)a(i+x)b, где a>-1, b>-1. В частности, при a=b имеем ультрасферические многочлены, или многочлены Гегенбауэра . Лежандра многочлены соответствуют значениям a=b=0 и ортогональны на сегменте [ — 1,1] с весом j(x)=1. Если т. е. j(x)=[(1-х)(1+х)]-1/2, то имеем многочлены Чебышева первого рода , а при — многочлены Чебышева второго рода .2) Многочлены Эрмита ортогональны на интервале с весом j(x) = ехр(- х 2)3) Многочлены Лагерра ортогональны на интервале с весом j(x) = xae-x, где a>-1. Лит.:[1] Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, М.-Л., 1950; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М., 1974; [3] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; [4] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; [5] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, М., 1976. См. также лит. при ст. Ортогональные многочлены. П. И. Суетин.