Келдыша — Лаврентьева Пример

Пример односвязной области D плоскости комплексного переменного z, ограниченной спрямляемой кривой Жордана, но не принадлежащей классу областей Смирнова S. Пусть функция z=/(w) реализует конформное отображение единичного круга Е- на односвязную область D, ограниченную спрямляемой кривой Жордана. Известно, что f(w)непрерывна в замкнутом круге а логарифм модуля производной In f'(w)представим в Еинтегралом Пуассона — Стилтьеса где m — нормированная борелевская мера на дЕ, Класс Sсостоит из таких областей D, для к-рых мера m. в представлении (*) абсолютно непрерывна по мере Лебега на дЕ и интеграл (*) превращается в интеграл Пуассона — Лебега от существующих почти всюду на дЕ граничных значений ln |f'(eiq)|. М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев [1] построили для любого k,0<h<1, односвязную область Д, ограниченную спрямляемой кривой Жордана Г, расположенную в круге |z|<h,и такую, что при конформном отображении области D на круг Е, произвольной дуге кривой Г на окружности соответствует дуга той же длины. Эта область D не принадлежит классу S, так как =0 почти всюду на дЕ. Проблема характеризации областей класса S(областей типа Смирнова) до сих пор (1978) полного решения не получила (см. [2], [3]). Лит.:[1] Келдыш М. В., Лаврентьев М. А., "Ann. Ecole norm, super.", 1937, t. 54, p. 1 — 38; [2] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Ловатер Дж., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 11, М., 1973, с. 99-179. Е. Д. Соломенцев.