Картана Теорема

1) К. т. о старшем векторе: пусть g — комплексная полупростая алгебра Ли, ei, fi, hi, i=i,..., r- ее канонические образующие, т. е. линейно независимые образующие, между к-рыми имеются следующие соотношения: где а ii=2, aij -неположительные целые числа при i, j=1,. .., r, aij=0 влечет за собой а ji-=О, и пусть t — подалгебра Картана алгебры являющаяся линейной оболочкой элементов h1,..., hr. Пусть также р — линейное представление g в комплексном конечномерном пространстве V. Тогда существует ненулевой вектор для которого: где ki — некоторые числа. К. т. установлена Э. Картаном [1]. Вектор vназ. старшим вектором представления р, а линейная функция L на t, определенная условиями г=1, . . ., r, наз. старшим весом представления р, соответствующим v. Упорядоченный набор чисел (k1, ..., kr )наз. набором числовых отметок старшего веса К. f. дает полную классификацию неприводимых конечномерных линейных представлений комплексной полупростой конечномерной алгебры Ли. Она утверждает, что всякое конечномерное комплексное неприводимое представление g обладает единственным, с точностью до пропорциональности, старшим вектором, причем соответствующие ему числовые отметки — неотрицательные целые числа; два конечномерных неприводимых представления эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие старшие веса совпадают и любой набор неотрицательных целых чисел является набором числовых отметок старшего веса нек-рого конечномерного комплексного неприводимого представления. Лит.:[1] Сartan E., "Bull. Scl. math.", 1925, t. 49, p. 130 — 52' [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962; [4] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;' [5] Dixmier J., Algebres enveloppantes, P., 1974; [6] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973. В. Л. Попов.2) К. т. в теории функций многих комплексных переменных — так наз. теоремы А и В о когерентных аналитич. учках на многообразиях Штейна, впервые доказанные А. Картаном (Н. Cartan, [1]). Пусть — пучок ростков голоморфных функций на комплексном многообразии X. Пучок модулей на Xназ. когерентным аналитически м, если в окрестности каждой точки существует точная последовательность пучков для нек-рых натуральных р, q. Такими являются, например, все локально конечно порожденные подпучки в Теорема А. Пусть — когерентный аналитич. учок нa многообразии Штейна X. Тогда для каждой точки найдется конечное число глобальных сечений s1, ..., sN пучка таких, что любой элемент s слоя . представляется в виде где все (Другими словами, пучок локально конечно порожден над своими глобальными сечениями. ) Теорема В. Пусть — когерентный аналитич. учок на многообразии Штейна X. Тогда все группы когомологий порядка многообразия Xс коэффициентами в пучке тривиальны: К. т. имеют много приложений. Из теоремы А получаются различные теоремы существования глобальных аналитич. объектов на многообразиях Штейна. Основным следствием теоремы В является разрешимость проблемы: на многообразии Штейна уравнение дf=g с условием согласования всегда разрешимо. Схема применения теоремы В такова: если — точная последовательность пучков на X, то последовательность тоже точна. Если X- многообразие Штейна, то и, значит, j0 есть отображение на, а jp,- изоморфизмы. Теорема В точна: если на комплексном многообразии Xгруппы для любого когерентного аналитич. пучка то X- многообразие Штейна. Теоремы А и В вместе с их многочисленными следствиями составляют т. наз. теорию Ока — Картана о многообразиях Штейна. Из этих теорем следует разрешимость на многообразиях Штейна всех классич. проблем многомерного комплексного анализа — проблема Кузена, Леви, Пуанкаре и др. Теоремы А и В и их следствия допускают дословное обобщение на пространства Штейна. Лит.:[1] Картан А., в кн.; Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, с. 352-62; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Хёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968. Е. М. Чирка.