Дифференциальное Уравнение С Частными Производными Второго Порядка

Уравнение, к-рое содержит хотя бы одну производную 2-го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2-го порядка имеет вид где точка х-( х 1, х 2, ..., х п )принадлежит нек-рой области в к-рой определены действительнозначные функции aij(x), bi (х), с (х), и в каждой точке хотя бы один из коэффициентов aij(x)обличен от нуля. Для любой точки существует такое неособое преобразование независимых переменных x=x(x), что уравнение (1) в новых координатах x= (x1, x2, ...,xn). примет вид где коэффициенты a*ij(x) в точке x0=x(x0) равны нулю при и равныили О при i= j. Уравнение (2) наз. канонич. видом уравнения (1) в точке х 0. Число кположительных и число lотрицательных в точке x0 коэффициентов в уравнении (2) зависит только от коэффициентов aij(x)уравнения (1). Это обстоятельство позволяет классифицировать дифференциальные уравнения (1) следующим образом. Если k=n или l=п, то уравнение (1) наа. эллиптическим в точке х 0;. если k=п-1, а l= 1, или k=1, а l=п-1, то — гиперболическим; если k+l=п и 1<k<n-1, то — ультрагиперболическим. Уравнение наз. параболическим в широком смысле в точке х 0, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю в точке x0=x(x0), k+l<n; уравнение наз. параболическим в точке х 0, если только один из коэффициентов равен нулю в точке x0 (пусть ), а все остальные коэффициенты одного знака и коэффициент В случае двух независимых переменных (n=2) тип уравнения удобнее определять с помощью функции Так, уравнение (1) является эллиптическим в точке х 0, если D(x0)>0; гиперболическим, если D(х 0)<0, и параболическим в широком смысле, если D(х 0) = 0. Уравнение наз. эллиптическим, гиперболическим и т. д. в области, если оно эллиптично, соответственно, гиперболично и т. д. в каждой точке этой области. Так, напр., уравнение Трикоми уи хх+и уy=О эллиптично при у>0, гиперболично при у<0 и параболично в широком смысле при у=0. Преобразование переменных x0=x(x), к-рое приводит уравнение (1) к канонич. виду в точке х 0, зависит от этой точки. В случае трех и более независимых переменных, вообще говоря, не существует неособого преобразования, приводящего уравнение (1) к канонич. виду одновременно во всех точках нек-рой окрестности точки x0, т. е. к виду В случае же двух независимых переменных (n=2) такое приведение уравнения (1) к канонич. виду возможно при нек-рых условиях на коэффициенты aij(x);напр., если функции а ij (х) непрерывно дифференцируемы до 2-го порядка включительно и уравнение (1) одного типа в нек-рой окрестности точки х 0. Пусть- нелинейное уравнение 2-го порядка, где и пусть в каждой точке из области определения действительнозначной функции Ф существуют производные и выполнено условие Для классификации нелинейных уравнений вида (3) фиксируют некоторое решение этого уравнения и рассматривают линейное уравнение с коэффициентами Уравнение (3) для данного решения наз. эллиптическим, гиперболическим и т. д. в точке х 0 (или в области), если эллиптично, гиперболично и т. д. в этой точке (соответственно в области) уравнение (4). К решению дифференциальных уравнений 2-го порядка сводится весьма широкий класс физических задач. См., напр., Волновое уравнение, Телеграфное уравнение, Теплопроводности уравнение, Лапласа уравнение, Пуассона уравнение, Гельмгольца уравнение, Трикоми уравнение А. К. Гущин. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА — уравнение, связывающее искомую функцию и(х), ее первые производные Diu=uxi, i=1,..., п, и независимые переменные x= ( х г, . . ., х п). Всякая система дифференциальных уравнений с частными производными может быть приведена к нек-рой системе Д. у. с ч. получающейся дифференцированием уравнения (1). Примеры. (D1u)2+(D2u)2=1; характеристич. полосы задаются уравнениями: характеристич. система (3) имеет вид уравнения характеристик: и=u0, решение задачи Коши с начальным условием и( х, 0)=и 0 (х)задается параметрич. уравнениями Полным интегралом уравнения (1) наз. решение уравнения (1), существенно зависящее от ппараметров a1, a2, . .., an. Решение вида (9) есть полный интеграл, если ранг матрицы равен п(в нек-рой области изменения переменных). Путем образования огибающих из полного интеграла строятся решения уравнения (1), зависящие от произвольных функций. Если из n-параметрич. семейства поверхностей (9) выделить (n-k)-параметрич. семейство, предполагая параметры асвязанными ксоотношениями wi (а) = 0, i=1, 2, ..., k, то огибающая этого семейства зависит от kпроизвольных функций п-kпеременных; соответствующие решения, зависящие от произвольных функций, наз. общими интегралами. Огибающая n-параметрич. семейства (9) (если она существует) не содержит никакого произвола и дает особый интеграл, к-рый может быть также найден исключением риз соотношений F=Fp=0. Многообразие касания поверхности семейства (9) с огибающей этого семейства является характеристич. многообразием кизмерений. В частности, при k=1 это многообразие является характеристич. кривой. На этом основан способ построения общего решения характеристич. системы уравнений (3) по полному интегралу уравнения (1) (метод Якоби), часто применяемый при интегрировании канонич. уравнений. Переопределенные системы Д. у. с ч. п. п. п.- это системы уравнений вида (1), в к-рых число независимых уравнений больше числа искомых функций. Такие системы, вообще говоря, противоречивы, и выделение классов непротиворечивых (совместных) систем составляет предмет теории совместности дифференциальных уравнений с частными производными. Пусть имеется переопределенная система для одной искомой функции и(х). Пусть все уравнения системы (10) независимы, так что Эта система наз. замкнутой, если все уравнения — скобки Пуассона) являются следствиями исходных уравнений, и незамкнутой — в противном случае. Незамкнутую систему с помощью присоединения независимых уравнений вида (11) можно расширить до замкнутой. При т= п замкнутая система имеет только тривиальное решение, а при т<п количество ее независимых решений равно п- т. Лит.:[1] Goursat E., Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du premier ordre, 2 ed., P., 1921; [2] Caratheоdоrу С, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, Lpz.- В., 1935; [3] Гюнтер Н.