Дифференциальное Уравнение Обыкновенное

Уравнение, в к-ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин "дифференциальные уравнения" был предложен Г. Лейбницем (G. Leibniz, 1676). Первые исследования Д. у. о. были проведены в конце 17 в. в связи с изучением проблем механики и нек-рых геометрич. задач. Д. у. о. имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования многих задач естествознания и техники: они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, к-рым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме Д. у. о., а сами эти уравнения, таким образом, являются средством для количественного выражения этих законов. Напр., законы механики Ньютона позволяют механич. задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математич. задаче нахождения решений Д. у. о. Расчет радиотехнич. схем и вычисление траекторий спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химич. реакций — все это производится путем изучения и решения Д. у. о. Наиболее важные и интересные технич. приложения Д. у. о. находят в колебаний теории и в автоматического управления теории. В свою очередь прикладные вопросы служат источником новых постановок задач в теории Д. у. о.; именно так возникла, напр., оптимального управления математическая теория. В дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через t, неизвестные функции — через х, у, z и др., а производные этих функций по ( — через х, х,.... х (п) и т. д. Простейшее Д. у. о. встречается уже в анализе: нахождение первообразной для данной непрерывной функции f(t)является по существу задачей об определении такой неизвестной функции x=x(t), к-рая удовлетворяет уравнению Для доказательства разрешимости этого уравнения необходимо было построить специальный аппарат — теорию интеграла Римана. Естественным обобщением уравнения (1) является Д. у. о. 1-го порядка, разрешенное относительно производной: где f(t, х)- известная функция, определенная в нек-рой области Dплоскости t, x. Многие практич. задачи сводятся к задаче решения (или, как часто говорят, интегрирования) этого уравнения. Решением Д. у. о. (2) наз. функция x=x(t), определенная и дифференцируемая на нек-ром интервале I и удовлетворяющая условиям: Решение Д. у. о. (2) геометрически можно изобразить на плоскости t, x в виде кривой с уравнением x=x(t), Эта кривая наз. интегральной кривой, в каждой своей точке она имеет касательную и целиком лежит в области D. Геометрич. интерпретацию самого уравнения (2) дает поле направлений в области D, к-рое получается, если через каждую точку (t, x )О D провести отрезок lt, x малой длины с угловым коэффициентом f(t, x). Любая интегральная кривая x=x(t)в каждой своей точке (t, x(t))касается отрезка lt, x(t). Ответ на вопрос о том, когда уравнение (2) имеет решение, дает теорема существования: если (т. е. непрерывна в D), то через любую точку проходит по крайней мере одна непрерывно дифференцируемая интегральная кривая уравнения (2), и каждая из этих кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой подобласти, целиком лежащей в Dи содержащей точку (t0, x0). Другими словами, для всякой точки найдется хотя бы одно непродолжаемое решение x=x(t),. такое, что (т. Однако сформулированная теорема не исчерпывает актуальную для приложений проблему, поскольку в ней речь идет лишь о замкнутом отрезке изменения независимого переменного. Между тем часто (напр., в теории управления движением) рассматривается решение задачи Коши (5), (7), определенное при всех t>t0, и необходимо выяснить устойчивость этого решения по отношению к малым возмущениям начальных значений на всем бесконечном промежутке t>t0, т. е. получить условия, обеспечивающие справедливость неравенства (12) при всех t>t0. Именно к этой задаче сводится исследование устойчивости положения равновесия или стационарного режима конкретной системы. Решение, мало изменяющееся на бесконечном промежутке при достаточно малых отклонениях начальных значений, называется устойчивым по Ляпунову (см. Устойчивость по Ляпунову). При выводе Д. у. о., описывающего реальный процесс, всегда приходится чем-то пренебрегать, что-то идеализировать. Иначе говоря, Д. у. о. описывают процесс приближенно. Напр., изучение работы лампового генератора приводит к Ван дер Поля уравнению при нек-рых предположениях, к-рые не вполне точно соответствуют действительному положению вещей. Далее, на ход процесса часто оказывают влияние возмущающие факторы, учесть к-рые при составлении уравнений практически невозможно; известно лишь, что их влияние "мало". Поэтому важно выяснить, как меняется решение при малых изменениях самой системы уравнений, т. е. при переходе от уравнения (5) к возмущенному уравнению учитывающему малые поправочные члены. Оказывается, что на замкнутом отрезке изменения независимого переменного (при тех же предположениях, что и в теореме о непрерывной зависимости решений от начальных значений) решение мало меняется, если возмущение R(t, x) достаточно мало. Если это свойство имеет место на бесконечном промежутке t>t0, то решение наз. устойчивым при постоянно действующих возмущениях. Исследование устойчивости по Ляпунову, устойчивости при постоянно действующих возмущениях и их модификаций составляют предмет важнейшего раздела качественной теории — устойчивости теории. Для практики в первую очередь представляют интерес такие системы Д. у. о., решения к-рых мало изменяются при всех малых изменениях этих уравнений; такие системы наз. грубыми системами. Другой важной задачей качественной теории является получение схемы поведения семейства решений во всей области определения уравнения. Применительно к автономной системе (9) речь идет о построении фазовой картины, т. е. о качественном описании в целом всей совокупности фазовых траекторий в фазовом пространстве. Такая геометрич. картина дает полное представление о характере всех движений, к-рые могут происходить в рассматриваемой системе. Для этого существенно прежде всего выяснить поведение траекторий в окрестности положений равновесия, отыскать сепаратрисы и предельные циклы. Особо актуальной задачей является нахождение устойчивых предельных циклов, ибо им соответствуют автоколебания в реальных системах. Любой реальный объект характеризуется различными параметрами, к-рые часто входят в виде нек-рых величин (e1, e2, ..., ek)=e в правую часть системы Д. у. о., описывающей поведение объекта: (13) Значения этих параметров не могут быть известны абсолютно точно, и потому важно выяснить условия, обеспечивающие устойчивость решений уравнения (13) по отношению к малым возмущениям параметра е. Если задаться определенным замкнутым отрезком изменения независимого переменного, то при естественных предположениях о правой части уравнения (13) имеет место непрерывная (и даже дифференцируемая) зависимость решений от параметров. Выяснение зависимости решений от параметра имеет прямое отношение к вопросу о том, насколько хороша идеализация, приводящая к математич. модели поведения объекта — системе Д. у. о. Одним из типичных примеров идеализации является пренебрежение малым параметром. Если учет этого малого параметра приводит к системе (13), то непрерывная зависимость решений от параметра позволяет при изучении поведения объекта на конечном отрезке времени безболезненно пренебречь этим параметром, т. е. в первом приближении рассматривать более простую систему Этот результат лежит в основе имеющих широкие приложения малого параметра метода, Крылова- Боголюбова метода усреднения и других асимптотических методов решения Д. у. о. Однако исследование ряда явлений приводит к системе дифференциальных уравнений с малым параметром при производных: Здесь уже нельзя, вообще говоря, принимать е=0, даже если пытаться составить грубое представление о явлении на конечном отрезке времени. В теории Д. у. о. рассматриваются нек-рые плодотворные и важные обобщения перечисленных выше задач. Прежде всего, можно расширить класс функций, в к-ром ищется решение задачи Коши (2), (3): определить решение в классе абсолютно непрерывных функций и доказать существование таких решений. Особый интерес для приложений представляет определение решения уравнения (2) в случае, когда функция f(t, х)разрывна или многозначна по х. Наиболее общей в этом направлении является задача о решении дифференциального включения. Рассматривается и более общее, чем (10), неразрешенное относительно старшей производной Д. у. о. п-го порядка исследования этого уравнения тесно связаны с теорией неявных функций. Уравнение (2) связывает производную решения в точке tсо значением решения в этой же точке: x(t)=f(t, x(t)). Но нек-рые прикладные задачи (напр., требующие учета эффекта запаздывания исполнительного устройства) приводят к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом: здесь производная решения в точке tсвязывается со значением решения в точке t-t. Изучению таких уравнений, а также более общих дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом посвящен специальный раздел теории Д. у. о. Изучение фазового пространства автономной системы (9) позволяет подойти к еще одному обобщению Д. у. о. Траекторию этой системы, проходящую через точку x0, будем записывать.