Дискретная Серия

Представлений — семейство непрерывных неприводимых унитарных представлений локально компактной группы G, эквивалентных представлениям регулярного представления этой группы. Если группа Gунимодулярна, то непрерывное неприводимое унитарное представление p группы Gтогда и только тогда принадлежит Д. с, когда матричные элементы представления p лежат в L2(G). В этом случае существует такое положительное число dp, называемое формальной размерностью представления л, что соотношения выполняются для всех векторов x, h, x', h' из пространства Н p представления p. Если p1, p2 — два неэквивалентных представления группы Gв пространствах Н 1 Н 2, соответственно, принадлежащие Д. с, то для любых x1, x2, выполняются соотношения Соотношения (1)-(4) являются обобщениями соотношений ортогональности для матричных элементов представлений компактных топологич. групп (см. Представления компактных групп);группа Gкомпактна тогда и только тогда, когда все непрерывные неприводимые унитарные представления группы Gпринадлежат Д. с, и если Gкомпактна и мера Хаара dg удовлетворяет условию то число dp. совпадает с размерностью представления p. Односвязные нильпотентные вещественные группы Ли и комплексные полупростые группы Ли не имеют Д. с. Класс эквивалентности представления я, входящего в Д. с, является замкнутой точкой в дуальном пространстве группы G, и мера Планшереля этой точки совпадает с формальной размерностью dp;если при этом нек-рый ненулевой матричный элемент представления p суммируем, то представление я является открытой точкой в носителе регулярного представления группы G, но открытые точки в могут не соответствовать представлениям Д. с. Свойства представлений Д. с. частично распространяются на случай неунимодулярных локально компактных групп. Лит.:[1] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с фанц., М., 1974; [2] Harish-Chandra, "Acta Math.", 1965, v. 113, p. 241-318; 1966, v. 116, p. 1-111; [3] Schmid W., "Ann. Math.", 1976, v. 103, p. 375-94; [4] KleppnerA., Lipsman R., "Ann. sci. Ecole norm, sup.", 1972, t. 5, p. 459-516; 1973, t. 6, p. 103-32. А. И. Штерн.