Действительное Алгебраическое Многообразие

Множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если X- неособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность dim Аравна размерности комплексного многообразия СА = Х (С), называемого комплексификацией многообразия А. Наиболее изучены неособые регулярные полные пересечения, т. е. многообразия Xв проективном пространстве RPq, являющиеся неособыми регулярными пересечениями гиперповерхностей гдеPi(z)- однородный действительный многочлен от qпеременных степени mi. В этом случае матрица имеет ранг s в каждой точке dim A = n=q-s. Пусть Вобозначает Д. а. м., определяемое усеченной системой Примеры регулярных полных пересечений:1) Плоская действительная алгебраич. кривая; при этом q=2, s=l, СВ = СР 2, B=RP2.2) Действительная алгебраич. гиперповерхность; при этом s=l, СВ = СР q, B = RPq. В частности, при q=3 получается действительная алгебраич. поверхность.3) Действительная алгебраическая пространствен" ная кривая; при этом q=3, s=2. Поверхность Взадается уравнением p1(z)=0, а кривая Авысекается на Вповерхностью p2(z)=0. Плоская действительная алгебраич. кривая Апорядка т 1 состоит в плоскости RP2 из конечного числа компонент, диффеоморфных окружности. При т 1 четном все они вложены в RP2 двусторонне, а при т 1 нечетном одна компонента вложена односторонне, а остальные — двусторонне. Двусторонне вложенная компонента кривой Аназ. овалом кривой А. Овал, лежащий внутри нечетного числа других овалов кривой А, наз. нечетным, остальные овалы наз. четными. Число компонент плоской действительной алгебраич. кривой порядка т 1 не превосходит (теорема Гарнака), [1]. Для каждого т 1 существует плоская действительная алгебраич. кривая с этим наибольшим числом компонент — М-к ривая (о способах построения M-кривых см. [1], [2], [3], об обобщении этих результатов на пространственные кривые см. [2]). Д. Гильберт (D. Hilbert) в 1900 поставил задачу изучения топологии Д. а. (tвсегда целое), то А, наз. (М-t)-многообразием. При t=0 Аесть M-многообразие, Доказаны следующие сравнения:A) Для М-многообразия Апри четном п где s( СА)- сигнатура многообразия СА (см. [9]).B) Для (M-1)-многообразия Апри четном п (см. обзор [13]).C) В случае регулярного полного пересечения, если п. четно, Аесть (М-1)-многообразие и гомоморфизм включения нулевой, то и В этом же случае, если пчетно, Аесть (М-2)-многообразие и i*- нулевой, то (см. [11]). В частности, для действительной алгебраич. поверхности Апорядка т 1 если Аесть М-поверхность, то если Аесть (М-1)-поверхность, то если Аесть (М-1)-поверхность и стягивается в RP3 в точку, то m1=2mod 4 и Если Аесть (М-2)-поверхность и стягивается в RP3 в точку, то Доказаны также нек-рые сравнения при нечетном п(см. [9], [13]). В частности, для плоской действительной алгебраич. кривой А, являющейся (М-1)-кривой четного порядка т 1: Имеются некоторые результаты о Д. а. м. с особенностями (см. обзор [13]). Интересный подход к изучению Д. а. м. предложен в [14]. Лит.:[1] Harnack A., "Math. Ann.", 1876, Bd 10, S. 189-99; [2] HilbertD., там же, 1891, Bd 38, S. 115- 38; [3] eго же, "Arch. Math. Phys." (3), 1901, Bd 1, S. 213-37; [4] Петровский И. Г., "Ann. Math.", 1938, v. 39, № 1, p. 189 — 209; [5] Олейник О. А., Петровский И. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1949, т. 13, с. 389-402; [6] Олейник О. А., "Матем. сб.", 1951, т. 29, с. 133-56; [7] Проблемы Гильберта, М., 1969; [8] Арнольд В. И., "Функциональный анализ", 1971, т. 5, № 3, с. 1-9; [9] Рохлин В. А., там же, 1972, т. 6, № 4, с. 58-64; 1973, т. 7, № 2, с. 91-92; [10] Харламов В. М., "Функциональный анализ", 1974; т. 8, № 2, с. 50-56; 1975, т. 9, № 3, с. 93-94; [11] его же, там же, 1975, т. 9, № 2, с. 51-60; [12] его же, там же, 1976, т. 10, № 4, с. 55-68; [13] Гудков Д. А., "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 4, с. 3-79; [14] Сулливан Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975. Д. А. Гудков.