Двумерное Многообразие Ограниченной Кривизны

Метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества. Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов. Пусть М- двумерное риманово многообразие, К(х)- гауссова кривизна Мв точке х; а (Е)- площадь множества для кривизна: абсолютная кривизна: положительная часть кривизны множества Е: где К +(x) = max . Если х и у- две точки риманова пространства М, то r( х, у)- нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М. Пусть М- произвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r — риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой. Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик rn, n=1, 2, . . ., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества будет равномерно (т. е. функции rn( х, у )сходятся к функции r( х, у )равномерно на множестве ) и последовательность |w п|. (A), n=1, 2, .. ., ограничена, где |w п| — абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически. В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где и последовательность римановых метрик r п, n=1, 2, ..., определенных на Uтаким образом, что равномерно на V, и последовательность ограничена. Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)- площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от.