Гиперэллиптическая Кривая

Неособая проективная модель аффинной кривой где — многочлен без кратных корней, нечетной степени n (случай четной степени сводится к случаю нечетной — ). Поле функций на Г. к. (поле гиперэллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля рациональных функций; в этом смысле оно является простейшим полем алгебраич. функций после поля рациональных функций. Г. к. характеризуются условием существования одномерного линейного ряда дивизоров степени 2, определяющего морфизм Г. к. на проективную прямую степени 2. Род Г. к. равен ( п-1)/2, поэтому для различных нечетных n Г. к. бирационально неэквивалентны между собой. При n=1 получается проективная прямая, при n=3 — эллиптич. кривая. По традиции кривые рода 0 или 1 к Г. к. не причисляются. На Г. к. рода g>l отношения регулярных дифференциальных форм порождают подполе рода 0 и это свойство вполне характеризует Г.