Александрова — Чеха Гомологии И Кого-мологии

Спектральные гомологии и когомологии, — гомологии и когомологии, удовлетворяющие всем Стинрода — Эйленберга аксиомам (кроме, быть может, аксиомы точности) и нек-рому условию непрерывности. Группы (или модули) гомологии Александрова-Чеха [1], [2] определяются как обратный предел по всем открытым покрытиям пространства X;при этом означает не только покрытие, но и его нерв, а . есть подкомплекс в , являющийся нервом ограничения покрытия на замкнутое множество А. Возможность перехода к пределу обеспечивается существованием спмплициальных проекции -*Х определяемых, с точностью до гомотопных, вписанностью в . Когомологии Александрова — Чеха определяются как прямой предел Гомологии удовлетворяют всем аксиомам Стинрода — Эйленберга, кроме аксиомы точности. Для когомологии справедливы все аксиомы; частично поэтому когомологии значительно более употребительны. На категории бикомпактов аксиома точности имеет место и для гомологии, если G — компактная группа или поле. Кроме того, А.- Ч. г. и к. обладают свойством непрерывности: для гомологии (когомологии) равны соответствующему пределу гомологии (когомологии) бикомпактов Х l ,. При этом теория Александрова — Чеха является единственной теорией, удовлетворяющей аксиомам Стинрода — Эйленберга (с указанным исключением) и этому условию непрерывности. На категории параком-пактных пространств для когомологии справедлива обычная характеристика через отображения в полиэдры Эйленберга — Маклейна, а сами когомологии эквивалентны когомологиям, определяемым в пучков теории. Когомологии могут быть определены также как когомологии нек-рого предельного коцепного комплекса, что дает возможность оперировать пучками коцепей. Аналогичные идеи в применении к гомологиям приводят к теории гомологии, идущей от Н. Стинрода (N . Steen-rod), А. Бореля (A. Borel) и др. и удовлетворяющей всем аксиомам, включая точность (но свойство непрерывности теряется). А.- Ч. г. и к., вместе с указанной модификацией, применяются в гомологич. вопросах теории непрерывных отображений, в теории групп преобразований (связь е факторпространством), в теории обобщенных многообразий (в частности, в различных соотношениях двойственности), в теории аналитич. ространств (напр., для определения фундаментальных классов гомологии), в гомологич. теории размерности и т. п. Лит.:[1] Александров П. С., "Ann. of Math.", 1928, v. 30, p. 101-87; [2] Сесh E., "Fundam. math.", 1932, t. 19, p. 149-S3; [3] Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [4]Скляренко Е. Г., Теория гомологии и аксиома точности, "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, вып. 5 (149), с. 87-140. Е. Г. Скляренко.