составить себе имя

Устар. Книжн. Стать известным, прославиться (на каком-либо поприще). [Иностранец] не поймёт русского мужика, хотя бы и столько знал русский язык, что был бы в состоянии составить себе имя в русской литературе (Белинский. Россия Петра Великого).