формализм

ФОРМАЛИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и логицизмом. Основоположником Ф. является Д. Гильберт, который поставил триединую задачу обоснования математики, известную как программа Гильберта.

1. Следовало признать, что основная часть математических объектов — идеальные конструкции, не имеющие интерпретации во внешнем мире и вводимые как интеллектуальные орудия для работы с реальными объектами. Более того, не все математические высказывания о реальных объектах могут считаться реальными. Назначение идеальных объектов и высказываний — перебросить мост от одних реальных высказываний к др.

2. Предстояло точно и до конца формализовать допустимые методы работы с идеальными конструкциями, исключить обращения к интуиции и апелляции к содержательному смыслу. Таким образом, математика должна быть превращена в исчисление.

Предполагалось создать метаматематику, которая исследует математические формализмы, и строго обосновать — при помощи простых, ясных и не вызывающих сомнения у конструктивистов методов (финитных методов) — принципиальную возможность устранения идеальных объектов из доказательств реальных утверждений.

Математическую теорию, развитую для потребностей метаматематики, Гильберт назвал теорией доказательств. В качестве метода такого обоснования предполагалось доказать непротиворечивость, а по возможности — и полноту, математических формализмов. По мере развития теории доказательств и теории моделей Ф. все больше сближался с логицизмом, и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. Отметим принципиальное методологическое отличие Ф. от логицизма и от наивного платонизма. Для формалиста абстрактные объекты и понятия — не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции; он не ставит вопрос об их существовании или происхождении: это не относится к задачам Ф. Воспользовавшись достижениями логицизма, в частности трудом А.Н. Уайтхеда и Б. Рассела «Principia Mathematica», школа Гильберта уже в 1920-е точно сформулировала формальное исчисление для арифметики и стимулировала работы по формальной аксиоматизации теории множеств. Интенсивно велись исследования в направлении непротиворечивости и полноты построенного арифметического исчисления. Действуя под сильнейшим влиянием Ф., А. Тарский и Р. Карнап определили понятие истины и вместе с Л. Витгенштейном сформулировали важнейшие понятия верифицируемости и фальсифицируемости, связывающие идеальные высказывания с реальными. Философская суть их состоит в том, что любое утверждение должно допускать прямую либо косвенную процедуру подтверждения или опровержения, а утверждения, которые не могут быть проверены даже косвенно, суть псевдопроблемы.

Одним из первых теоретических конструктов, проверенных при помощи формалистских методов, явилась сама программа Гильберта. Теорема Геделя о неполноте показала, что ее цель-максимум недостижима, а его же теорема о недоказуемости непротиворечивости — что фальсифицируется и предложенное Гильбертом средство. Таким образом, программа Гильберта не сводится к псевдопроблемам, — она явилась реальной программой научного исследования. Как известно, чаще всего приводят к важным результатам теоретические программы с недостижимыми, но реально проверяемыми, целями. Несмотря на защиту Ф.Л. Брауэром, который в др. случаях резко критиковал Гильберта, но соглашался с целями его программы, научная общественность восприняла результаты Геделя как крах программы Гильберта.

Пожалуй, самым слабым местом программы Гильберта была установка на обоснование и спасение существующей математики, возникшая как реакция Гильберта на пересказ ему идей Брауэра и на личные дискуссии с ним (сам Гильберт работ Брауэра не читал). В данном месте первоначальный Ф. соединялся с математическим платонизмом, представляющим собой вульгаризированное представление о том, что математические идеи являются Абсолютными Идеями в смысле Платона и имеют бытие первичное по отношению к физическому миру. Поэтому математические платонисты восприняли Ф., как молитву, произнесение которой позволит им освятить свою деятельность и ничего не менять.

Именно эта установка оказалась подорвана теоремами Геделя, показавшими, что перестраивать математику все равно придется и что в ней всегда есть место сомнению. Тем не менее дальнейшее развитие подтвердило, скорее, точку зрения Брауэра, чем большинства. Теория доказательств стала приносить позитивные результаты.

В 1936 Г. Генцен опубликовал доказательство непротиворечивости арифметики, в котором единственным не-формализуемым в арифметике шагом явилась трансфинитная индукция (см. Индукция) до £, которая, безусловно, косвенно верифицируема и фальсифицируема содержательными полностью финитными методами и конструктивно приемлема. Еще раньше, в 1934, он опубликовал доказательство теоремы нормализации, из которого следует возможность устранения промежуточных идеальных высказываний из логических выводов реальных. В 1939 П.С. Новиков установил, что из классического арифметического доказательства существования объекта, удовлетворяющего разрешимому условию, следует возможность построить такой объект. Тем самым реальные утверждения, доказуемые в арифметике, оказались обоснованными. В дальнейшем получены оценки роста длины вывода при устранении идеальных понятий, подтвердившие прозрение Гильберта о необходимости идеальных объектов и понятий для практического получения реальных результатов. По сравнению с такими оценками даже башня из степеней двоек растет слишком медленно.

Необходимо обратить внимание на философские и методологические достижения Ф., ставшие неотъемлемой частью современной науки. Дискредитирована примитивно понимаемая априорность математических понятий и точно установлена их относительность. Вместе с тем показано, что отнюдь не любая формальная система может быть интеллектуальным орудием. Трудность создания таких систем и их внутренняя гармоничность вновь поставили вопрос об априорности математических понятий, не сводимых к простой игре с символами по правилам, неизвестно кем заданным. Но априорность в данном случае понимается как наличие априорных корней, а не как абсолютная заданность данной реализации Идей. Таким образом, Ф. внес вклад в критику примитивного идеализма.

Методами Ф. исследованы неклассические, в частности интуиционистские, системы, что показало совместимость идей Брауэра о творящем субъекте и намеренном незнании с классическими математическими понятиями и обосновало возможность рационалистической альтернативы традиционному европейскому физическому рационализму. Методами Ф. установлены оценки роста сложности конструкций при понижении уровня используемых идеальных понятий и их сокращения при повышении абстрактности понятий, что окончательно дискредитировало плоские эмпирические и утилитаристские взгляды на теоретические конструкции. Прагматический подход к теории оказался наиболее дорогим, поскольку путь к новым полезным результатам проходит через сущности высших порядков, не имеющие никакой прямой связи с практикой. Эстетические и холистические критерии оказались зачастую более точным методом оценки теорий и особенно исходных понятий, чем непосредственно получаемые первые результаты. Это внесло вклад в критику примитивно понимаемого материализма и эмпиризма.

Различение идеальных и реальных объектов проложило путь к таким новым по своей методологии разделам математики, как нестандартный анализ, в котором действительная ось либо др. структура пополняется объектами более высокой степени идеальности таким образом, чтобы сохранялись все выразимые в формальном языке свойства. Разделение на язык и метаязык оказалось плодотворным не только в логике и философии, но и в таких новых дисциплинах, как когнитивная наука и информатика. Четыре уровня метаязыкового описания, в частности, используются в практической системе построения моделей сложных систем UML. Было отброшено ограничение Гильберта о финитности метаязыка, и ныне метаязыком может служить любая система.

Приложение методов Ф. в физике позволило оценить глубину прозрения И. Канта об априорности математических понятий по отношению к физическим. Выяснилось, что вся современная физика логически следует из решения измерять величины действительными числами, и в данном смысле правильно парадоксальное высказывание Канта, что Разум диктует законы Природе. Приложение Ф. в психологии привело к развитию когнитивной науки, которая применяет идеальные объекты для моделирования человеческого восприятия и мышления. И последним гвоздем, забитым в фоб «содержательного» подхода к идеальным понятиям, явился результат Н.В. Белякина (2004). Существование внутренней естественной модели теории множеств ZF противоречит этой теории. Таким образом, рассуждения, апеллирующие к истинности, недопустимы в теории множеств (см. Множеств теория), и все вопросы об истинности тех или иных неразрешимых утверждений являются псевдовопросами. Лишь Ф. является здесь корректным способом работы.

Н.Н. Непейвода

Лит.: Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Т. 1, 2. М., 1979, 1982; Гончаров С.С., Ершов ЮЛ., Самохвалов К.Ф. Введение в логику и методологию науки. М., 1994; White-head A.N., RussellB. Principia Mathematica. Oxford, 1912—1920.