непротиворечивость

НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ — свойство совокупности утверждений, состоящее в отсутствии среди выводимых из этой совокупности противоречащих друг другу утверждений или противоречащего подразумеваемому истолкованию утверждений. В логических исчислениях Н., как правило, означает отсутствие среди выводимых формул одновременно формул А и -iA, т.е. некоторого утверждения и его отрицания (синтаксическая Н.). В логических исчислениях, содержащих схему -А -> (А -> В) («из противоречия следует все что угодно») и правило вывода modus ponens («из утверждений А и А -> В следует утверждение В»), это эквивалентно тому, что есть утверждение, которое не выводимо в данном исчислении. Это дает возможность определять Н. исчислений, не содержащих отрицания: исчисление непротиворечиво, если множество выводимых в нем формул не совпадает с множеством всех формул (др. словами, не является сверхполным). Н. в логических системах (как формальных, так и неформальных) выступает в виде закона противоречия (или закона отсутствия противоречия, или закона непротиворечия): никакое утверждение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием; или, в др. терминах, никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Семантическая Н. теории означает наличие модели этой теории. Теорема Геделя о полноте может быть сформулирована в терминах Н.: теория первого порядка синтаксически непротиворечива тогда, и только тогда, когда она семантически непротиворечива. Существуют синтаксически непротиворечивые, но семантически противоречивые теории более высоких порядков; близки к ним ш-противоречивые теории, в которых для некоторой формулы <�р{х) и всякого предмета подразумеваемой интерпретации (напр., всякого натурального числа п) справедливо утверждение < р ( и ), однако справедливо и утверждение -iVx

<�р обладают не все предметы»).

Обоснование Н. логического исчисления (логической системы, теории) — одна из первых проблем, стоящих перед создателями любой теории. Д. Гильберт считал Н. (в рамках рассматриваемой теории) утверждения о существовании математического объекта достаточным условием его наличия, оправдывая использование в математике чистых теорем существования.

Доказательство противоречивости теории является основой метода рассуждения от противного: доказывая выводимость в теории Т (принадлежность ей) утверждения ф, мы рассматриваем результат присоединения -1 < р к Т, и если это дает противоречивую теорию, делаем вывод, что ф выводимо в Т. Попытки доказательства противоречивости теории с целью получения доказательства от противного могут, в случае неуспеха, иметь эвристическую ценность. Так, созданию геометрии Лобачевского предшествовали многочисленные исследования результатов замены пятого постулата геометрии Евклида его отрицанием с недостигнутой целью получения противоречия. В дальнейшем была доказана относительная Н. обеих геометрий: если противоречива геометрия Лобачевского, то противоречива и геометрия Евклида, и наоборот. Относительная Н. теорий является неотъемлемой частью современных исследований; напр., в аксиоматической теории множеств, когда у нас нет какой-либо естественной общепринятой модели. Но и в случае, когда такая модель есть, как для аксиоматической арифметики (стандартная модель арифметики), разумны сомнения в ее понимании ввиду заложенной в модели бесконечности; поэтому желательны доказательства Н. теорий без апеллирования к модели, финитные доказательства на основе достаточно слабой теории, чтобы не вызывать сомнений в Н. Из второй теоремы Геделя о неполноте следует, что для доказательства Н. достаточно сильных (напр., содержащих аксиоматическую арифметику) непротиворечивых теорий требуются еще более сильные теории.

Отказ от схемы -А -> (А -> В) приводит к построению активно исследуемых в последние десятилетия паране-противоречивых логик, в которых могут быть выводимы пары утверждений вида А и -А, но не выводимы все утверждения. Это соответствует человеческому рассуждению при противоречивой информации.

A3. Чагров

Лит.: Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М, 1994; Гладкий А.В. Введение в современную логику. М., 2001; Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957.