множеств теория

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ — учение о множествах, зародившееся в середине 19 в. и изучающее свойства множеств произвольной природы. Создание М. т. было подготовлено работами математиков, ставивших целью разработку оснований анализа. Первые работы в этой области были посвящены числовым множествам и множествам функций (Б. Больцано, Р. Дедекинд). В этих работах ставился вопрос о количественном сравнении бесконечных множеств: существуют ли различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества разной мощности? В 1871—1883 гг. Г. Кантор, изучив множества произвольных элементов, дал почти современное изложение теории кардинальных и ординальных чисел и теории вполне упорядоченных множеств. Он ввел понятие сравнения двух множеств, опирающееся на понятие взаимно-однозначного их соответствия. Выяснилось, что существует бесконечная шкала не равно-мощных множеств (напр., множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разные мощности). В том же цикле работ Кантор предложил теорию (носящую теперь его имя) действительных чисел, доказал счетность множества действительных алгебраических чисел и несчетность континуума, ввел общее понятие мощности, доказал равномощность континуумов разного числа измерений и высказал континуум-гипотезу Данная гипотеза (1878) состоит в том, что всякое бесконечное подмножество действительных чисел равномощно либо множеству натуральных чисел, либо множеству действительных чисел; при наличии аксиомы выбора это утверждение эквивалентно тому, что 2^Ш = c O j. Кантор также ввел различные классы точечных множеств, определил операции пересечения и суммирования множеств, провел различение кардинальных и ординальных чисел и их обобщение на трансфинитные числа. Наконец, в 1895—1897 все эти разработки были представлены в систематизированном виде и М. т. легла в основу всей математической науки.

В М. т. Кантора понятие множества не определяется, а лишь поясняется на примерах (множество всех четных натуральных чисел, множество всех натуральных решений данного алгебраического уравнения и т.д.). Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов, либо задан перечень его элементов.Невозможностьопределитьпонятие«множество» может быть связана с тем, что это понятие является самым широким понятием логики и математики. Основное отношение в М. т. — принадлежность одного множества др. Общность понятия «множество» дала возможность применять его в любой математической области, и практически вся математика использует язык М. т. Однако самому Кантору шаг обобщения дался трудно, и его идеи были встречены современниками по-разному: Р. Дедекинд и Д. Гильберт признали выдающееся значение М. т., однако, напр., Л. Кронекер был ее убежденным противником. Широкое признание учение Кантора получило на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1897. Однако в это же время в М. т. обнаружились противоречия, открытие которых (Г. Кантор, С. Бурали-Форти, Б. Рассел) потрясло все основание математики. Кризис этот продолжается и в настоящее время. Стоит отметить, что противоречия возникают на самых «верхних этажах» иерархии множеств, когда мы образуем «множество всех множеств», или «множество всех порядковых чисел», или «множество всех множеств, не являющихся элементами самих себя», и т.д. Таким образом, «наивная» М. т., т.е. в том виде, как ее создал Кантор, не может быть использована в полном объеме. С одной стороны, несмотря на противоречивость М. т. Кантора, ею продолжают пользоваться в различных областях математики (напр., как языком, удобным для изложения предмета). С др. стороны, необходимо было исправить существующее положение дел. Были предложены различные выходы из создавшейся ситуации, но все их пришлось признать в конечном итоге неудовлетворительными. Существуют три основные трактовки оснований математики — это логицизм, интуиционизм и формализм. С точки зрения логицизма, математика — отрасль логики. Определения и теоремы математики следует давать и доказывать в терминах логических понятий. Математические истины составляют собственное подмножество логических истин. Не следует отождествлять логицизм с теоретико-типовым подходом, создателем которого был англ. философ и крупнейший логик начала 20 в. Б. Рассел. Логицизм же был создан Г. Фреге задолго до возникновения теории типов. В рамках стремления к полной арифметизации математики Фреге показал в 1894, что все принятые к тому моменту интерпретации исчисления натуральных чисел неудовлетворительны, и дал интерпретацию натуральных чисел как кардинальных чисел некоторых понятий, а понятие кардинального числа свел к чисто логическим выражениям. Фреге почти заново построил формальную логику, дал первую систему аксиом пропозиционального исчисления (см. Логика высказываний) и расширил функциональное исчисление (см. Логика предикатов). Но в 1902 Б. Рассел обнаружил противоречие в системе Фреге, что побудило первого к пересмотру взглядов на логику. Приспосабливая логицистическое построение математики к открытиям противоречий, Рассел с помощью разветвленной теории типов исключил непредикативные определения. Однако Рассел не смог обойтись без аксиомы сводимости, утверждающей, что для каждого ненулевого свойства высшего порядка найдется свойство того же объема порядка ноль, а также без аксиомы бесконечности, утверждающей существование бесконечного числа объектов типа ноль. В 1937 У Куайном была предложена бестиповая аксиоматическая система М. т. (конечно, аксиоматизируемая с ограничением на схему аксиом свертывания ЭхЧу{уе.х {у)). Эта схема утверждает, что для всякого свойства множеств, выражаемого формулой ф(х) с одной свободной переменной, найдется множество, содержащее те, и только те, множества, которые обладают свойством ф. Если в схеме аксиом свертывания ф(х) — произвольная формула, то вместе с аксиомой объемности и обычной логикой предикатов получается формальная система, в которой может быть построена вся «наивная» М. т. Кантора. Однако в этой системе нетрудно вывести противоречие: если ф ( х ) < = > — > ( х е л: ), тогда по аксиоме свертывания найдется (и единственное в силу аксиомы объемности) множество у такое, что Х£у-*(хвх); если в последнюю формулу подставить у вместо х, то получим уеу < = > — i ( _ y e y ), т.е. противоречие; это — формальный аналог известного парадокса Рассела 1902. Поэтому на формулу ф накладывается условие стратифицируемости: формула ф — стратифицируемая формула, если она получается из формулы языка теории типов «стиранием» типов. Отметим, что в системе Куайна существует, напр., множество всех множеств, и этот факт не приводит к противоречию. В заключение отметим, что логицизм так и не смог конструктивным путем достичь своей цели.

В интуиционистской математике Л.Е.Я. Брауэр ограничил использование закона исключенного третьего и ввел новую трактовку логических связок и кванторов. По Брауэру, математика имеет своим источником умственные построения. Основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности построения мысленного эксперимента, связываемого с данным суждением. Отсюда — совершенно новый подход к определению математических понятий и способов рассуждений. На этом пути была построена математика, включая теорию континуума и М. т., в которой многие разделы традиционной математики приобрели весьма необычный вид, а ряд др. разделов просто потеряли смысл. Идеи Брауэра оставались и остаются достоянием узкой группы математиков. Этот путь также оказался далек от приемлемого решения вопроса обоснования математики.

Наконец, Д. Гильбертом был предложен выход в виде аксиоматического метода. Признавая, что предложения классической математики содержат актуальную бесконечность и выходят за пределы интуитивной очевидности, он выдвинул программу, следуя которой, нужно сначала сформулировать классическую математику (или ее часть) в виде аксиоматической теории (формализма), а затем доказать непротиворечивость полученной теории. Однако непротиворечивость первоначальной теории доказывается с использованием некоторой др. теории, и, таким образом, возникает теория доказательств, или метаматематика. Однако и здесь полного успеха достичь не удалось. Тем не менее именно на этом пути были сделаны, может быть, самые плодотворные и приемлемые для большинства математиков попытки преодолеть кризис. В 1904—1908 Э. Цермело предложил первую систему аксиом, которой оказалось достаточно, чтобы получить все важные для математики результаты и в которой не получалось ни одно из известных противоречий. В настоящее время существуют несколько общепринятых с и с т е м аксиоматической М. т., из которых наиболее известной является система Цермело—Френкеля. Таким образом, одной из попыток выхода из кризиса явилось создание аксиоматической М. т., которая занимается изучением фрагментов «наивной» М. т., применяя методы математической логики. Дадим краткую характеристику существующих систем аксиоматической М. т. Для ряда из них характерно ограничение схемы аксиом свертывания таким образом, чтобы избежать возникновения противоречий. Это системы Цермело и Цермело—Френкеля. Ряд др. систем характеризуются тем, что в них противоречия устраняются как следствия непредикативных определений. Пример — теория типов Рассела. Наконец, ряд систем преследует специфические цели (конечность числа аксиом, нестандартные логические средства вывода и т.д.). Это системы Неймана—Геделя—Бернайса, Куайна и системы, появившиеся за последние 35 лет и основанные на неклассических логиках (в первую очередь, на интуиционистской логике).

Аксиоматический подход позволил решить некоторые вопросы соотношения различных систем М. т., придать точный смысл вопросам неразрешимости ряда математических проблем (континуум-гипотезы, напр.), решить некоторые трудные классические проблемы топологии, теории кардинальных и ординальных чисел. Тем не менее вопрос о непротиворечивости всех систем аксиоматической М. т. остается открытым.

Тесная связь между М. т. (как дисциплиной, лежащей в основаниях математики) и философией математики породила много вопросов о природе противоречий и аксиоматизации М. т. Во взглядах на то, как можно было бы удовлетворительно обосновать М. т., имеются большие расхождения. Но подавляющее число математиков продолжают с успехом применять понятия, методы и результаты М. т. в большинстве разделов математики и твердо верят в то, что усилия по устранению противоречий из М. т. приведут к реабилитации последней. «Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно, существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики вообще» (Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. С. 416).

В.Х. Хаханян

Лит.: Хаудорф Ф. Теория множеств. М. Л., 1937; Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965; Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969; Кураторвский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970; Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. М., 1973; Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.