логицизм

ЛОГИЦИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основоположником Л. можно считать И. Канта, который рассматривал логику как априорно данную, а математические утверждения — как результаты столь же априорных выводов из логики. Г. Фреге построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки — а именно: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее вошли в дальнейшие работы.

По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный Л. все больше сближался с формализмом и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. Отметим принципиальное методологическое отличие Л. от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абстрактные объекты и понятия суть не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, для платониста математические понятия предсуществуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия — результат логического конструирования Л. конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений — принадлежности элемента классу, применения функции к аргументу, именования и отношения «часть—целое».

За решение задачи построения математики как логической системы, базирующейся на отношении принадлежности, взялись Дж. Уайтхед и Б. Рассел. Этот труд до сих пор остается непревзойденным образцом конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем берут начало многие направления исследований.

Прежде всего, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Эта концепция строгой типизации была затем использована в -исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: X'.

При таком ограничении языка принцип свертки, введенный Фреге и позволяющий определять множества: 3Y¹⁺¹Vx'(xeY<=>A(x)), становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений, кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык в явном виде ввел польский логик Л. Хвистек в 1921.

Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям др. наук.

Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универса, пробегаемого переменными типа i+1, входящими в А, приводит к изменению объема Y'*'. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вейль, верхняя грань множества действительных чисел порядка к может быть порядка к+1. К. Гедель показал, что для некоторого ординала а совокупность множеств порядка а образует модель аксиомы свертки, а если перенести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.

Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости:

для каждого множества порядка п существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф.П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид t'eX'"¹"', j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов.

Линия Л. была продолжена У Куайном, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации.) Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие х = х, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, соотношений между стандартными теориями множеств и NF не получено. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо весьма слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа п быть членами множеств типа и+1 и п+2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории.

Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н.Н. Непейвода). Таким образом, NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в др. теории конструкции, что позволяет рассматривать такие объекты, как категорию всех категорий. Этот результат был положен в основу еще одного подхода к основаниям математики: формальной системологии, когда фундаментальным понятием служит система.

Продолжением Л. в области второго фундаментального отношения явились А-исчисление и комбинаторная логика. Их идея — построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции Хх. Карри показал, что добавление импликации к неограниченному Я-исчислению приводит к противоречию, но А-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта — и бестиповое, и типизированное. Рассмотрены и системы А-исчисления с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей.

Л. Хвистек и С. Лесьневский развивали др. логические основания для общей теории.

Теория именования (онтология) имеет следующий исходный принцип:

Vx,X(xeX»3y(yex&Vy,z(yEX&zex=>yez)&Vy(yex=> уеХ))).

Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена, и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующая на соотношении часть—целое. Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому.

Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят, скорее, комментаторский характер.

П. Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и Л. с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.

Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией Vx(P₁&...&P_n=>Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации Vx(Vy(P=>Q)=>Vy(P₁=>Q₁))) и операторы из условий в умения) соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т.д. Практика программирования показала, насколько большой выигрыш дает даже усеченное введение понятий второго типа по сравнению с понятиями первого типа (переход от структурного к объектно-ориентированному програмированию). Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня.

Н.Н. Непейвода

Лит.: Whitehead J., Russel В. Principia Mathematica. Oxford, 1912—1920; Chwistek L. Antynomie logiki formalnej // Przeland Filozofski. V. 20. 1921. P. 122—151; Ramsey EP. The foundations of mathematics and other logical essays. NY & London, 1931; Quine W. v. O. Mathematical Logik. Cambridge, Mass., 1951; Lesnewski S. Uber die Grundlagen der Ontologie // Comptes Rendus de Varsoive. V. 23. 1930. P. 111 — 132; Chwistek L. Neu e Grundlagen der Logik und Mathematik // Mathematische Zeitschrift, V. 30. 1929. P. 704—724; V. 34. 1932. P. 527—534; Chwistek L. Granice nauki. Lwow—Warszawa, 1935.