индукция

ИНДУКЦИЯ (от лат. inductio — выведение; возбуждение) — этот термин в современной логике используется как синоним более точного, но более громоздкого, термина «индуктивное рассуждение». Индуктивное рассуждение содержит переход от эмпирически верифицируемых посылок к заключению, подтверждаемому посылками, но дедуктивно из них не выводимому. («Все известные нам вороны черные; следовательно, все вороны черные».) Таким образом, заключение индуктивного рассуждения — в отличие от заключения дедуктивно правильного рассуждения — содержит информацию, не содержащуюся в его посылках.

Наиболее широко используемая разновидность индуктивных рассуждений — перечислительные рассуждения: рассуждения, содержащие переход от посылок, утверждающих, что все известные объекты из некоторой совокупности А обладают свойством Р, к заключению, утверждающему, что все — в том числе и неизвестные — объекты из А обладают Р (приведенное выше рассуждение — при прочтении А как совокупности воронов и Р как свойства «быть черным» — представляет собой пример перечислительной И.). Другая широко распространенная разновидность индуктивных рассуждений — рассуждения, содержащие переход от посылок, утверждающих, что некий объект а обладал свойством Р в каждый момент времени, предшествующий настоящему, к заключению, утверждающему, что а будет обладать Р в будущем. («До настоящего момента, вслед за зимой всегда наступала весна; следовательно, при естественном течении событий, вслед за зимой всегда будет наступать весна».) Иногда индуктивные рассуждения сочетают в себе перечислительный и временной аспекты; так, приведенное выше рассуждение о черных воронах может быть проинтерпретировано как обосновывающее несуществование нечерных воронов не только в настоящем, но и в будущем.

С философской точки зрения, наибольший интерес представляет, и набольшее внимание привлекает, проблема обоснования И. — нахождения рационального базиса для признания легитимности индуктивных рассуждений. Важность проблемы обусловлена важностью индуктивных рассуждений для современной науки. Ее успешное решение предполагает нахождение ответа на вопрос, на каком основании мы признаем некоторые из индуктивных рассуждений приемлемыми, несмотря на то, что во всяком индуктивном рассуждении истинность посылок не гарантирует истинности заключения. Так, чернота всех известных нам воронов не гарантирует того, что в природе не существует, и никогда не появится, ни одного ворона другой расцветки. Все ответы, предложенные со времени поставившего этот вопрос Д. Юма, оказались безуспешными — всякая попытка обоснования И., предложенная до настоящего момента, в неявной форме предполагала легитимность И. Например, Д.С. Миль полагал, что легитимность И. гарантирована единообразием универсума; так, мы можем быть уверены в том, что все существующие и будущие вороны черны, потому что все известные нам вороны черны и универсум единообразен. Однако, что дает нам право верить в единообразие универсума? Только то, что он был таким до сих пор в пределах нашего опыта. В таком случае, утверждая, что универсум единообразен всегда и везде, мы утверждаем как истину заключение индуктивного рассуждения. В настоящее время наибольшей популярностью пользуется рассмотрение проблемы И., предложенное П. Стросоном, утверждающим, что проект обоснования И. самопротиворечив. Согласно Стросону, обоснование И. равносильно приданию индуктивным рассуждениям статуса дедуктивных. В то же время основная ценность индуктивных рассуждений заключается в том, что — в отличие от дедуктивно правильных рассуждений — они позволяют нам получать новую информацию; таким образом, обоснование И. равносильно утверждению, что индуктивные рассуждения, вопреки очевидности, не приводят к получению новой информации, что, согласно Стросону, абсурдно.

Корректные рассуждения по математической И., несмотря на имя, являются дедуктивно правильными, а не индуктивными, рассуждениями.

Д.П. Шкатов

И. — в философии (логике) одна из форм мышления, с помощью которой мы находим общий закон, которым обладает класс каких-либо единичных предметов. Уже у Аристотеля встречаются различные виды индуктивных правил рассуждения (напр., неполная И., или И. через простое перечисление). Однако только с началом активного развития естественных наук метод рассуждения по И. стал применяться особенно часто и, что особенно важно отметить, сами виды индуктивных рассуждений стали изучаться на предмет их надежности, и это служило развитию логики как науки. Напр., английский философ Ф. Бэкон признавал И. через простое перечисление недостаточно надежным способом умозаключения. В индуктивных умозаключениях (даже в крайне простых случаях) возможны различного рода ошибки (напр., поспешное обобщение и др.). Возможны также ошибки при умозаключениях и в случае истинных посылок индукции, когда не соблюдаются законы логики.

Индуктивная логика (индуктивные рассуждения) всегда, как правило, неполна и не может быть признана абсолютно точной без точного описания рамок ее применения. Именно такие рамки применения, при которых индукционные умозаключения приобретают наиболее законченный вид, мы находим в математической логике. Среди индукционных рассуждений (рассуждений по И.) следует выделить индукционные определения, метод математической И. и трансфинитной И., принцип математической И. Индукционные определения в наиболее общем виде выглядят так: сначала задаются исходные объекты определенного класса; затем задаются правила получения по одним объектам данного класса других объектов; наконец, получение объектов данного класса возможно только по приведенным выше двум пунктам. В качестве стандартного примера можно привести определение формулы в формальном языке аксиоматической системы. Дальнейшее использование индуктивного определения состоит в возможности применения его при доказательстве какого-либо свойства для всех объектов данного определенного класса (доказательство по И.).

Принцип математической И. и является формализацией математической И. (рассуждения вида: пусть некоторое свойство выполнено для числа I и пусть из того, что это же свойство выполнено для числа и, следует, что это свойство выполнено для числа п+1; тогда рассматриваемое свойство выполнено для любого натурального числа) и имеет формальную запись: ф(0)л/х(ф(х)—»ф(х')).—к/х<�р(х). Здесь ф — индукционная формула, х — индукционная переменная.

Принцип полной И. имеет формальную запись: Vx[Vy(yф(у))—»ф(х)]—»/хф(х) и эквивалентен (напр., в рамках формальной арифметики) принципу математической И. Часто встречается также совместная математическая И., напр. при доказательстве в интуиционистской арифметике НА свойства дихотомии равенства натуральных чисел. В этом случае необходимо проводить дополнительные индукционные доказательства (со своими базисным и индукционным шагами). Совместная математическая И. может быть сведена к обычной, однако такое сведение часто только усложняет общее доказательство. Индуктивные определения и полная И. могут быть легко расширены до любого вполне упорядоченного класса объектов А, при этом формальная запись сохраняется (в этом случае индукционная переменная пробегает элементы класса А). Таким образом, полная И. является частным случаем И., которая носит название трансфинитной И. Наконец, если отношение < на классе объектов А задает так называемое фундированное дерево (т.е. дерево, все ветви которого обрываются), то трансфинитная И. для такого класса А эквивалентна так называемой бар-И., которая утверждает, что если некоторое свойство ф объектов класса А выполнено для всех концевых вершин (которых не обязательно конечное множество) и что если свойство ф наследуется вниз при движении к корню, то свойство ф выполнено и для корневого объекта класса А. Принцип бар-И. особенно важен при доказательствах в интуиционистской арифметике.

Ю.В. Шлее

Лит.: Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957; Кондаков Н.И. Введение в логику. М., 1967; Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., 1970; Шенфилд Дж. Математическая логика. М., 1975; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979; Драгалин А.Г. Математический интуиционизм: Введение в теорию доказательств. М., 1979.