алгебра логики

АЛГЕБРА ЛОГИКИ — исторически первая форма математической (символической) логики, сложившаяся к последней трети 19 в. К ее созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что алгебраические уравнения применимы при решении задач из различных областей знания. Попытки свести логику к алгебре предпринимались еще в 17—18 вв.: среди тех, кто занимался перестройкой логики на алгебраической основе, следует назвать Г. Лейбница и особенно И. Г. Ламберта, который, по-видимому, первым использовал термины «А. л.», «логическая алгебра». В то время основным предметом алгебры считали решение уравнений, и Ламберт стремился к тому, чтобы представить логические связи уравнениями, а логические выводы — решением соответствующих уравнений. При этом он стремился сохранить в «алгебраической логике», которую он называл знаковым искусством, все операции обычной алгебры.

В 19 в. поиск способов решения логических задач алгебраическими методами продолжился. Были введены четкие представления об операциях над объектами логики, что стало возможным, прежде всего, благодаря трактовке понятий по их объему. Кроме того, было введено понятие универсума — предметной области логики, а в качестве объектов, на которых задаются операции, стали выступать подклассы универсума, суждения же получили представление в виде равенств. Принципиальный прорыв в алгебраизации логики совершили А. де Морган и Дж. Буль; «Формальная логика» де Моргана и «Математический анализ логики» Буля вышли в 1847. В построениях обоих ученых содержалось то, что ныне называется «булевой алгеброй». Де Морган кроме этого развил исторически первую систему алгебры отношений (см. Логика отношений).

Система Буля, называемая А. л., а иногда «алгеброй классов», получила более широкую известность, чем построения Де Моргана. На множестве классов х, y,z... Буль ввел операции: «х», «+», «-», соответствующие умножению (пересечению), сложению (объединению) и вычитанию классов. При этом операция «+» определялась лишь для непересекающихся классов, а формула х — у означала класс тех и только тех элементов класса х, которые не входят в класс у (знак « х » обычно опускался). Единицей Буль обозначил универсальный класс (универсум), нулем — пустой класс, дополнение класса х (до универсума) обозначалось как (1 — х). Выражение у = vx, где v — «неопределенный» класс, выражало включение класса х в класс/.

Хотя «сложение» классов у Буля было не всюду определено, его операции представляют собой полную систему связок, позволяющую выражать в его алгебре любые действия, причем как над классами, так и над высказываниями (суждениями). Однако распространение операций « + » и « — » на любые объекты универсума требовало дальнейшего уточнения, которое могло быть двояким: можно было считать х + у объединением классов х и у независимо от того, пересекаются они или нет (чему в алгебре высказываний соответствует операция дизъюнкции); но можно было считать эту формулу симметрической разностью классов х и у, т. е. их объединением с исключением общей части, и тогда х — у тоже оказывалось симметрической разностью, т.к. последняя обратна самой себе. В одном случае мы приходим к булевой алгебре, в другом — к булеву кольцу. Первая возможность в четкой форме была реализована УС. Джевонсом, вторая в 1927 И.И. Жегалкиным. В трудах Э. Шредера, Ч. Пирса, П.С. Порецкого и др. ученых методы А. л. получили дальнейшее усовершенствование. Центральной оставалась задача составления логических уравнений и поиск алгоритма их решения с целью разыскания всех следствий (определенного вида) из заданных посылок, а также (это двойственная задача) определения всех гипотез (тоже определенного вида), из j которых логически следует заданная формула логики. Подход Шредера состоял в том, что каждое равенство приводилось к виду (*) ах + Ъ X = О, гдечерта над буквой означала дополнение к классу (соответственно, отрицание высказывания). Учитывая, что в А. л. справедливо равенство (**) ах+Ъх = ах + Ъх + аЬ, из уравнения (*) исключался х и получалось равенство ab = 0 как необходимое и достаточное условие разрешимости (*).

Несколько иначе логические уравнения понимал Порецкий: для него они были не столько условиями, кото- I рым нужно удовлетворить, сколько посылками, из которых требуется вывести логические следствия. Пусть, I напр., требуется определить следствия, вытекающие из посылок «Если а, то Ь» и « Если Ь, то с », что на языке А. л. передается формулами а :э b и b з с. Учитывая, что эти формулы можно передать равносильными им выраже ниями, содержащими дизъюнкцию и отрицание (т.е. объединение классов и дополнение к классу), а также справедливость равенства, двойственного равенству (**) [оно возникает из ( * * ) после замены « х » на « + » и наоборот], мы получаем (а + b)(b + с) = (а + b)(b + с) 1 (а + с), где умножение передает операцию конъюнкции I (объединение классов). Таким образом выявляется, что (а + с), т.е. «Если а, то с», есть следствие рассматриваемых посылок. Этот пример иллюстрирует мысль Л. Кутюра (Алгебра логики. Одесса, 1905. С. 68): «В логике различие терминов известных и неизвестных является искусственным и почти бесполезным; все термины, в сущности, известны и речь идет только о том, чтобы из данных между ними соотношений вывести новые соотношения (т.е отношения неизвестные или неявно известные)».

В конце 19 — начале 20 вв. в логике происходят кардинальные изменения: наряду с А. л. появляются исчисления высказываний и предикатов (напр., «Исчисление понятий» Фреге, 1879). Булева алгебра становится составной частью математической (символической) логики. При этом логику высказываний, если она строится не как исчисление, а с помощью таблиц истинности, часто называют А. л.

Б.В. Бирюков, З.А. Кузичева

Лит.: Бобынин В.В. Опыт математического изложения логики. Сочинения Эрнста Шредера. Физ.-матем. науки в их настоящем и прошедшем. 1886—1894. Вып. 2; Джевонс Ст. Основы науки. Спб, 1881; Жегалкин И.И. О технике вычисления предложений в символической логике // Математический сборник. 1927. Т. 34. Вып. 1; Математика XIX века (Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей). М., 1978; Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884; Boole G. The mathematical analysis of logic. Cambridge, 1847; Morgan A. de. Formal logic, or calculus of inference, necessary and probable. London, 1847; Schroder E. Der Operationskreis des Logikkalkuls. Leipzig, 1877.