аксиома выбора

АКСИОМА ВЫБОРА (от греч. axioma — принятое положение) — один из важнейших теоретико-множественных принципов, введенный в 1904 Э. Цермело и утверждающий, что «для всякого семейства непустых множеств существует функция выбора, выбирающая из каждого множества этого семейства ровно по одному элементу». А. в. была введена в силу того факта, что имевшиеся к тому времени «наивные» принципы рассуждений не позволяли ответить на очень многие простые вопросы о множествах (напр., на вопрос о сравнении мощностей двух произвольных множеств). С помощью А. в. Э. Цермело удалось доказать, что всякое множество может быть вполне упорядочено (как оказалось, это просто одна из эквивалентных форм А. в.). А. в. вызвала серьезные возражения со стороны многих математиков начала 20 в. как самой формулировкой, так и некоторыми своими следствиями (утверждавшими существование множеств с непривычными свойствами, напр. неизмеримого множества действительных чисел, или того факта, что множество действительных чисел можно вполне упорядочить). Главная причина отрицательного отношения к принятию А. в. состояла в абсолютно неконструктивном характере этого принципа, не содержащего никаких указаний для построения объекта с заданными свойствами. Тем не менее оказалось (и это было подтверждено дальнейшими исследованиями в метаматематике и дескриптивной теории множеств), что некоторые утверждения, совершенно необходимые для построения математического анализа и теории меры, не могут быть получены без А. в. Однако для доказательства этих утверждений необходима не полная форма А. в., а так называемая счетная форма А. в., которая постулирует существование функции выбора в случае, если семейство непустых множеств счетно. Оказалось, что именно такой формы А. в. достаточно, чтобы построить теорию меры и математический анализ в привычном для классического математика виде. А. в. оказалась как совместной (К. Гедель, 1939), так и независимой (П. Коэн, 1963) от остальных постулатов теории множеств Цермело—Френкеля (а также и от ряда теоретико-множественных принципов, вводимых в дальнейшем для подобного исследования). Отметим также, что А. в. несовместна с некоторыми аксиоматическими системами теории множеств с подлежащей классической логикой (т.е. в таких системах выводимо отрицание А. в.). Таким образом, вопрос о принятии А. в. в полном виде или в виде некоторых «урезанных» форм зависит от того, какую математическую теорию мы желаем построить, т.е. от исходных философских установок. См. Множеств теория.

В.Х. Хаханян