ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь — дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К. Гаусса (1777-1855), Г. Дарбу (1842-1917), Л. Бианки (1856-1928) и Л. Эйзенхарта (1876-1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии "в малом". Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и "глобальными" свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией "в целом". Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает "метрическая" дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б. Римана (1826-1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.

Кривые на плоскости и в пространстве. Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s — натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s).

См. также ВЕКТОР. Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой

Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N — единичный вектор нормали, то

Кроме того, можно показать, что

Если k задана как функция от s, например, k = f(s), то уравнения (1)-(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = f(s) называется внутренним уравнением кривой. Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s — натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством

Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:

Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде

где B — единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент t в (6) — кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что

Соотношения (5)-(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = f (s) и t = y (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, — нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, — спрямляющей.

Поверхности в пространстве. Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u1, u2), y = g (u1, u2), z = h (u1, u2) или векторным уравнением X = F (u1, u2). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именно

где g11, g12 и g22 — функции от u1 и u2, определяемые выражениями

Полезно также ввести величины gij:

Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует). Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами

Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T1 и T2. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ¶Ti/¶uj (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T1, T2 и N :

Величины Гijk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины [[i, j, k]] (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями

где по определению

Величины bij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности bij играют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности — непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека. Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде

где g11l1l1 + 2g12l1l2 + g22l2l2 = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора l равна

За полуоборот вектора l кривизна k(l) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора l, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(l) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма — средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями

и

Важную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K > 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K < 0 — гиперболическую неевклидову геометрию. Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через gij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (bij) равен R1212, где

Величина (Rlijk) называется тензором кривизны поверхности.

Риманова геометрия. Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулой

в некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (gij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через gij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей. Секционная кривизна K12 риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами l1 и l2:

Если она одинакова для всех векторов l1 и l2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, где

Свернутый тензор кривизны, определяемый выражением

играет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором Rik = mgij, называется пространством Эйнштейна. Дифференциальная геометрия в целом. Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса — Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностей

где интеграл берется по всей поверхности, K — гауссова кривизна и c — характеристика Эйлера — Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К. Аллендерфером и А. Вейлем.

См. также

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ;

ТОПОЛОГИЯ.

ЛИТЕРАТУРА

Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М., 1956 Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М., 1969 Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М., 1970