Штрафных функций метод

Штрафны́х функций метод

Метод сведения задач об отыскании условного (относительного) экстремума функций к задачам отыскания безусловного (абсолютного) экстремума. Рассмотрим Ш. ф. м. на примере задач математического программирования. Пусть требуется минимизировать функцию φ(х) на множестве X = {x: f_i (x) ≥ 0, I = 1, 2,... m} n-мерного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений f_i (x) ≥ 0, i = 1, 2,... m), называют функцию ψ (х, а), зависящую от х и числового параметра а > 0, обладающую след. свойствами: ψ(х, а) = 0, если х ∈ Х и ψ(х, а) > 0, если x ∉ X. Построим функцию M (x, α) = φ(x) + ψ(х, α) и обозначим через x (α) любую точку её безусловного глобального минимума. Пусть . Функцию ψ(х, α) выбирают таким образом, чтобы φ(x (α))→ φ* при α → +∞. В качестве φ(х, α) часто выбирают функцию

, q ≥ 1.

Выбор конкретного вида функции ψ(x, α) связан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции М (х, α).

В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функции φ(х) на множестве Х к задаче минимизации некоторой параметрической функции М (х, α) на множестве более простой структуры с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X.

Лит.: Моисеев Н. Н., Элементы теории оптимальных систем, М., 1975; Фиакко А., Мак-Кормик Г., Нелинейное программирование, пер. с англ., М., 1972; Сеа Ж., Оптимизация, пер. с франц., М., 1973.

В. Г. Карманов.