1. Большая советская энциклопедия

Целая функция

Це́лая функция

Функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a0 + a1z +... + anzn, функции sinz, cosz, ez. Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой (См. Особая точка) Ц. ф. Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Ц. ф. f (z) необходимо и достаточно, чтобы f (z) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z = ∞ является существенно особой точкой для Ц. ф. f (z), то f (z) называют трансцендентной Ц. ф. Таковы, например, функции sinz, cosz, ez.

Для того чтобы f (z) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z0 имело место соотношение

Целая функция

В этом случае разложение f (z) в ряд Тейлора

Целая функция. Рис. 2

будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.

Основой для классификации трансцендентных Ц. ф. служит скорость роста М (r) функции, определяемой равенством

Целая функция. Рис. 3

Величину

Целая функция. Рис. 4

называют порядком Ц. ф. f (z). В трудах А. Пуанкаре, Ж. Адамара (См. Коши — Адамара теорема) и Э. Бореля (См. Борель) была установлена связь между порядком Ц. ф. и распределением её нулей.

Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.

Источник: Большая советская энциклопедия на Gufo.me

Значения в других словарях

  1. Целая Функция — Функция, аналитическая но всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удаленной точки). Она разлагается в степенной ряд сходящийся во всей плоскости Если всюду, то f(z)=eP(z), где Р(z)- Ц. Математическая энциклопедия
  2. ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного. Примерами целой функции служат многочлен a0 + a1z -... anzn, функции sin z, cos z. Большой энциклопедический словарь