Средние

Сре́дние

Средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.

1) Средним для данной группы чисел x₁, x₂,..... x_n называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: Арифметическое среднее

,

Геометрическое среднее

,

Гармоническое среднее

,

Квадратичное среднее

.

Если все числа x_i (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное С.

частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s ₍а равняется a, h и q соответственно при α = 1, —1 и 2. При α → 0 степенное С, s_α стремится к геометрическому С., так что можно считать s₀ = g. Важную роль играет неравенство s_α ≤ s_β, если α ≤ β, в частности

h ≤ g ≤ a ≤ q.

Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы

,

где f^-1(η) — функция, обратная к f (ξ) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f (ξ). Так, арифметическое С. получается, если f(ξ) = ξ, геометрическое С. — если f (ξ) = log ξ, гармоническое С. — если f (ξ) = 1/ξ, квадратичное С. — если f (ξ) = ξ².

Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.

в частности при α = 1,

,

которые переходят в обыкновенные степенные С. при р₁ = р₂ =... = p_n. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).

2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a₁ и геометрическое С. g₁. Затем для пары a₁, g₁ снова находятся арифметическое С. a₂ и геометрическое С. g₂ и т.д. Общий предел последовательностей a_n и g_b, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.

3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f (x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f (b) — f (a) = (b—a) f’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f (x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что

.

В частности, если φ(x) = 1, то

.

Вследствие этого под средним значением функции f (x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

.

Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.