Софокусные кривые

Софо́кусные кривые

Конфокальные кривые [от лат. con (cum) — с, вместе и Фокус], Линии второго порядка, имеющие общие фокусы. Если F и F'— две данные точки плоскости, то через каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F и F' своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырёх точках) под прямым углом (углом между двумя кривыми в точке пересечения называется угол между их касательными). Всё множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат определяется уравнением

(*)

где с — расстояние фокусов от начала координат, а λ — переменный параметр. При λ > с² это уравнение определяет эллипс, при 0< λ< с² — гиперболу (при λ < 0 — мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности, то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится система т. н. эллиптических координат (См. Эллиптические координаты). Именно, если М (х, у) — произвольная точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и у в уравнение (*), получим квадратное уравнение для λ; корни его λ₁, λ₂ называются эллиптическими координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и гиперболы составляют координатную сеть эллиптической координатной системы, т. с. определяются уравнениями λ = const. λ₂ = const.

Рис. 1 к ст. Софокусные кривые.

Рис. 2 к ст. Софокусные кривые.