Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окружность

В точке М кривой l, окружность, имеющая с / в точке М касание порядка n ≥ 2 (см. Соприкосновение). Если Кривизна кривой l в точке М равна нулю, то С. о. вырождается в прямую. Т. к. порядок касания / и С. о. в точке М не ниже двух, то С. о. воспроизводит ход кривой вблизи точки касания с точностью до малых 3-го порядка по сравнению с размерами участка кривой. На рисунке изображено обычное (порядок касания кривой и С. о. равен двум) взаимное расположение кривой и её С. о.: кривая пронизывает С. о. в точке соприкосновения. Радиус С. о. называют радиусом кривизны кривой / в точке М, а центр С. о. — центром кривизны. Если кривая l плоская и задана уравнением у = f (x), то радиус С. о. определяется формулой:

.

Если кривая l — пространственная и задана уравнениями х = х (u), у = у (u), z = z (u), то радиус С. о. определяется формулой:

(здесь штрихи означают дифференцирование по параметру u).

Иногда С. о. называют соприкасающимся кругом. См. также Дифференциальная геометрия.

Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956.

Рис. к. ст. Соприкасающаяся окружность.